Должна ли я платить за квартиру за ребенка, если он прописан, но не имеет там часть собственности?

Конечно, должны. Право собственности к оплате коммунальных услуг никакого отношения не имеет, оплата производится не по колличеству собственников, а по колличеству проживающих. Если лицо, прописанное в квартире, по каким-либо причинам там не проживает ( например, в армии, командировке, летом на даче) или проживает и оплачивает коммунальные услуги в другом месте, то пишите заявление в ЖЭУ или как оно там сейчас называется, предоставляете документы и можете сделать перерасчет по коммунальным платежам, которые начисляются на человека - газ, горячая и холодная вода, мусор, остальные коммунальные платежи ( отопление, техническое обслуживание) начисляются от площади квартиры.

да вы должны оплачивать коммунальные услуги

Елена Ледовских пишет совершенно верно, но с маленькой поправочкой: плата за содержание и ремонт мест общего пользования (в народе "квартплата", в ЖК РФ "плата за жилое помещение", коммунальные услуги сюда не входят) начисляется независимо от количества проживающих, но зависит от площади помещения. Обязанность вносить плату за жилое помещение лежит только на СОБСТВЕННИКЕ: ст. 30, 39, 153 ЖК РФ.

Таким образом:
1. коммунальные услуги начисляются и должны оплачиваться ПРОЖИВАЮЩИМИ (по нормативам на одного ПРОЖИВАЮЩЕГО, либо по приборам учета, на проживающих допустимо разделить поровну) . Вы должны платить за себя и обоих прописанных детей.
2. плата за жилое помещение начисляется и должна оплачиваться только СОБСТВЕННИКАМИ жилого помещения пропорционально его доле в праве собственности, никаким перерасчетам не подлежит, даже если СОБСТВЕННИК отсутствует (ведь места общего пользования всегда нужно содержать!) . Т. е. по этим платежам Вы можете потребовать отдельного лицового счета и вносить 2/5 - за двух собственников.

Квартирная плата зависит от количества проживающих в ней по данным ЖЭКа.
А вот налог на имущество в размере 2/5.