Помогите разъяснить ситуацию! (см. внутри)

Можете заключить договор дарения. Жизнь не стоит на месте, наследников нет сейчас, потом могут появиться. Муж матери, родившиеся дети, обязательные наследники по закону и т. д.

наследование и дарственная -два разных действия.
начнем с того, что завещание всегда можно изменить.
на данном временном отрезке, я бы не торопился.
когда дочери исполниться 18 лет, возможен очень удобный договор купли\продажи с правом пожизненного проживания.
этим договором будут защищены обе стороны, хотя бы юридически.

дама, Вы 25 уже спрашиваете и Вам 25 раз отвечают: переписать просто не получится - оформляйте дарственную. Не хотите сейчас писать дарственную - оставьте все как есть, и дочь потом унаследует эту квартиру.

а для каких целей нужно что-то переписывать-то?

Во-первых не путать божий дар с яичницей: регистрация по месту жительства (т. н. "прописка) и право собственности, возникающее в т. ч. после приватизации- разные вещи.
На сегодняшний день у дочери имеется право проживания в этой квартире, так же она является наследником первой очереди на имущество матери, в. т. ч на эту квартиру (кстати, вне завсимости от того зарегистрирована она в кв-ре или нет) и никто не мешает матери сейчас передать право собственности на эту квартиру дочери путём дарения.
...Могу только догадываться зачем это так срочно срочо понадобилось делать. Из практики, обычно такие сделки нужны для сокрытия имущества при риске наложения имущественных взысканий. Вы уж извините за смелость предположения.. .
Мать-то хоть зарегистрирована там? Или только собственником является? А то ведь мать рискует остаться без права проживания в этой кваритире.

А зачем вообще что-то делать? Единственный ребенок-единстенный наследник

Прописка - пропиской (милицейская система учета) , собственность - собственностью. Одно от другого не зависит (напрямую) . Дарите на здоровье - тогда дочь станет собственником при жизни матери. Оформите завещание - тогда дочь станет собственником после смерти матери (правда, побегает по нотариусам, да регистрационным палатам).