Бабка хочет подать на меня в суд за то что я якобы не оплачиваю квартиру, хотя квитанции об оплате есть, но они у неё

1. Игнорировать повестки - неверно, поскольку если Вы не будете являться в суд без уважительной причины, решение (в теории) может быть принято в Ваше отсутствие и, соответственно, с большой долей вероятности, не в Вашу пользу. Логически, в суд надо идти, либо взять больничный и сообщить об этом суд, с просьбой перенести заседание, если хотите время потянуть.
2. По поводу оплаты: либо далее оплачивать, и квитанции хранить у себя, либо, если бабушка настаивает на том, чтобы самой хранить эти квитанции, снимайте с них ксероксы себе "в архив".
3. Сходите в бухгалтерию паспортной службы и вохьмите справку об отсутствии задолженности по квартплате. Если Вы в квартире зарегистрированы, Вам не могут отказать в получении этой информации, и держите эту справку у себя. Нет долгов - нет "дела". Обходитесь без мордобоя и не будет проблем.
Если Вы бабушку действительно не обижаете, скорее всего у нее а/ плохой характер, б/ уже, извините, маразм, а в таком состоянии пожилым людям многое мерещится (из личного опыта) . Терпите - она Ваша родня.. .
4. Что касается квартиры - кому она хочет ее оставить - если квартира не приватизирована, и кроме бабушки и Вас никто из других родственников в ней не прописан - "оставить" эту квартиру кому-то другому у бабули не выйдет. Унаследовать после смерти, а также продать при жизни, подарить - можно только имущество, находящееся в собственности. А так, после смерти бабушки Вы останетесь в квартире по договору соц. найма.
Если мириться не получается, хотя-бы не деритесь...

С бабкой помиритесь, на суд идти надо, иначе вам все присудят. т. к. для неявки нет уважительной причины. Заявляйте, что с обвинениями не согласны, что квитанции оплачивали именно вы. Бремя доказательств в гражданском суде лежит на истце. Но игнорировать обвинения нельзя. Можете нанять адвоката или юриста, дать ему доверенность или в суде устно заявить о нем.

возьмите справку об отсутствии задолженности и тогда в суде ей что бы доказать что именно она платила нужно будет предъявить квитанции, и если квитанции заполняли вы то дело в шляпе. Ну а если нет то ...

тогда, как вы докажите, что оплата произведена вами? работник кассы, где произведена оплата может подтвердить?

Бабка - МОЛОДЕЦ, а вот Вам нужно подумать - насколько хороша благотворительность.
Бабка придет в суд и заявит об образовавшейся задолженности (кстати, у Вас договор найма? ) и потребует оплаты, а Вы будете стоять перед судьей и клясться здоровьем близких, что регулярно платили, только вот суд слезам не верит, а токмо фактам. Поэтому - с бабкой - мириться, жить как с любимой тещей и обхаживать всячески, но в это время, проконсультироваться с юристом (адвокатом) и собрать необходимын материалы для обоснования своей позиции в суде (видео - аудиоматериалы, документы, свидетелей и пр.) . Не пытайтесь записывать бабулю на сотовый саморстоятельно - есть особые "фишки" для представления доказательств.. .
Удачи!

Если вы ее оплачиваете, то соответственно задолженности по оплате быть не должно. С чем же она пойдет в суд?

роспись на них бывает или подчерк ваш? потому что где вы их оплачивали должны быть коппии