если муж не оформляет на себя наследство, доли в квартире, имеет ли какиенибудь права его сын на наследство?

Только после смерти мужа, Ваш сын, не является наследником в прямом смысле, он либо по праву представления либо по наследственной трансмиисси, пока он не наследник.

Не имеет. Никаких прав.

Не можете ничего из вышесказанного сделать с наследсвом, к тому же не Вашим!

если он не писал заявление нотариусу, то можете от им сына написать заявление и оформит на сына

Отказ от наследства и от получения завещательного отказа (статьи 1157 - 1160 ГК РФ) .

Наследник вправе отказаться от наследства в пользу других лиц или без указания лиц, в пользу которых он отказывается от наследственного имущества.
При наследовании выморочного имущества отказ от наследства не допускается.

Наследник вправе отказаться от наследства в течение срока, установленного для принятия наследства, в том числе в случае, когда он уже принял наследство.
Если наследник совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, суд может по заявлению этого наследника признать его отказавшимся от наследства и по истечении установленного срока, если найдёт причины пропуска срока уважительными.

Отказ от наследства не может быть впоследствии изменён или взят обратно.

Наследник вправе отказаться от наследства в пользу других лиц из числа наследников по завещанию или наследников по закону любой очереди, не лишённых наследства завещанием, в том числе в пользу тех, которые призваны к наследованию по праву представления или в порядке наследственной трансмиссии.

Не допускается:
отказ от наследства в пользу иных не перечисленных выше лиц;
отказ от наследства с оговорками или под условием;
отказ от части причитающегося наследнику наследства. Однако если наследник призывается к наследованию одновременно по нескольким основаниям (по завещанию и по закону или в порядке наследственной трансмиссии и в результате открытия наследства и тому подобное) , он вправе отказаться от наследства, причитающегося ему по одному из этих оснований, по нескольким из них или по всем основаниям;
отказ с указанием, в чью пользу он совершается (но при этом допускается отказ без такого указания) :
от имущества, наследуемого по завещанию, если всё имущество наследодателя завещано назначенным им наследникам;
от обязательной доли в наследстве;
если наследнику подназначен наследник.
Примечание. Нововведениями по сравнению с действовавшей ранее статьёй 550 ГК РСФСР здесь являются: возможность отказа от наследства после его принятия, изъятие неограниченного круга юридических лиц, в пользу которых можно было осуществлять отказ, а также установление недопущения в некоторых случаях отказа с указанием, в чью пользу он совершается.

http://w47. narod.ru/gk3-pr.html#отказ

Здесь, если вопрос стоит только в оплате долгов за квартиру, то надо составить с мужем соглашение о том, что гасит долги, например Ваш сын, но при этом после получения права наследования муж обязуется продать сыну площадь (обязательно указать цену и сроки) , этот договор о намерениях заверить у нотариуса и так же заверить расписку в получении денежных сумм (в размере необходимых трат) , оформив ее как получение денег в качестве задатка за приобретаемую площадь. Деньги на руки лучше не отдавать, а проплачивать расходы прямо самим в присутствии Вашего мужа. Когда наследником станет Ваш муж, оформить договор купли продажи на Вашего сына. Это будет надежнее всего.