можно ли прописаться в садовом домике? Какие документы посмотреть по этому поводу?

Нужно обратиться в суд общей юрисдикции с заявлением об установлении юридического факта признания вашего дачного дома пригодным для постоянного проживания. Данное заявление подается в соответствии главой 28 Гражданского процессуального кодекса РФ.
В суд необходимо представить следующие документы:
1. Документы на право собственности на землю и на дом.
2. Техпаспорт БТИ, в котором даны технические характеристики дома – какой фундамент, капитальные ли стены или нет и т. д.
Если ваши интересы будет защищать третье лицо, то потребуется доверенность.
Представленные документы должны подтвердить, что данное строение пригодно для постоянного проживания, что дом достаточно капитален для того, чтобы жить в нем постоянно. На судебном заседании будет рассмотрен вопрос о возможности признать жилое строение жилым домом. От этого решении будет зависеть ваша регистрация. Если суд признает, что жилое строение отвечает всем санитарным, техническим нормам и правилам, то его признают жилым домом. В таком доме можно регистрироваться. Если же суд придет к выводу, что в нем невозможно проживать круглогодично, и дом не отвечает установленным нормам, то рассчитывать на «прописку» не приходится.

Не можете.

во первых - дом должен быть признан капитальным домостроением.
во вторых - удобства соответствовать удобствам в том районе, где расположен ваш садовый участок.
в третьих - домостроению должна присвоить почтовый адрес.
в четвертых - из сложившейся практики такое происходит, если у вас это единственное жилое помещение.
администрация поселений частенько отказывает в этом, т. к. для них это еще и большая головная боль и затраты по обслуживанию такого домостроения. поэтому обычно следует отказ, тогда вам предстоит отстаивать свои права в суде.