Мы с матерью живем в 2-комнатной квартире. Обе там прописаны. Может ли она ее разменять без моего согласия?

Если она собственник, то может.
Если наниматель по договору социального найма, то не может.

если у вас соц. найм, то такой размен, который называется " разъезд" возможен в принудительном порядке по решению суда
Статья 72. Право на обмен жилыми помещениями, предоставленными по договорам социального найма

1. Наниматель жилого помещения по договору социального найма с согласия в письменной форме наймодателя и проживающих совместно с ним членов его семьи, в том числе временно отсутствующих членов его семьи, вправе осуществить обмен занимаемого ими жилого помещения на жилое помещение, предоставленное по договору социального найма другому нанимателю.
2. Проживающие совместно с нанимателем члены его семьи вправе требовать от нанимателя обмена занимаемого ими жилого помещения по договору социального найма на жилые помещения, предоставленные по договорам социального найма другим нанимателям и находящиеся в разных домах или квартирах.
3. Если между нанимателем жилого помещения по договору социального найма и проживающими совместно с ним членами его семьи не достигнуто соглашение об обмене, любой из них вправе требовать осуществления принудительного обмена занимаемого жилого помещения в судебном порядке. При этом учитываются заслуживающие внимания доводы и законные интересы лиц, проживающих в обмениваемом жилом помещении.

Нужно смотреть, кто является собственником квартиры, в собственности она или находится по найму.

Регистрация Вам ничего не даёт.

Если приватизирована, то может

конечно нет....