Снимаю квартиру, в доме ТСЖ. Сотрудники ТСЖ имеют притензии к моей собаке.

Орган ТСЖ, выбирается собственниками многоквартирного дома для управления дома. Под управлением дома следует понимать, уборку дома, вывоз мусора, поставку коммунальных ресурсов, содержание коммуникаций дома в исправном состоянии.
Ни каких других прав ТСЖ не имеет, они не вправе знать на каком основании Вы или Ваш пес проживает в квартире, не вправе делать какие либо замечания касаемые внешнего вида собаки.
Что касаемо отстаивания своего права, то все способы защиты гражданских прав указаны в ст. 12 ГК РФ.

Наплюйте. Главное собака ваша собственность и пусть попробуют нанести ей вред.

Существуют правила содержания домашних животных (как правило местные) . Если Вы их соблюдаете- хоть крокодила держите (я считаю собак красивее этой рептилии, но кто-то готов со мной спорить) . Я думаю, у Вас там человеческий фактор- попросите, чтобы выдали Вам претензии, которые Вы должны удовлетворить, в письменном виде. А членство в ТСЖ- это к собственнику, а наниматель и не должен никуда вступать. Пусть покажут в уставе ТСЖ соответствующее определение, типа человеком считается только член ТСЖ.

В чём заключается претензия?

Смотри постановление месных органов власти - скорее всего это Правило содержания собак и кошек в городе ...там все праписано - если не нарушаешь этих правил тогда все впорядке : )
В соответствии с законом животные рассматриваются как личная собственность, т. е. как вещь, в отношении которой обладает исключительными правами владения, пользования и распоряжения по своему усмотрению. Однако человек не только обладает правом собственности на животное, но и имеет различные права и обязанности, вытекающие из этого обладания. (см. выше)

так, ну не красивая собака это не аргумент, и то что не член ТСЖ тоже)) )
конкретный закон не знаю, но иметь животных в квартире точно не запрещено.

у меня два пса в обычном доме ни кто даже и не пискнет)))))))))) а пискнут мы их сьедим))))))

Если собака выгуливается рядом с домом в наморднике - то смело посылайте их всех на ...(ой) :))))