Можно ли попробовать судиться с Россией о том, чтобы нам выделили социальное жильё как можно скорее это во-первых,

Судиться с Россией? Это как?
Начните с даминистрации, муниципалитета.
У Вас наверняка имеется аргумментированный ответ, либо отказ.
Нужно уточнить что администрация нарушила в данном случае.
Но быстро думаю не выдадут, процедра достаточно долгая.
Когда выиграете процесс, советю каждый месяц посылать запрос о продвижении вашей очереди, т. е. на какой стадии кто получил жилье с указанием ФИО и адреса проживания.
Муниципалитет неохотно выдает эту информацию, но необходимо приложить усилия, а лучше наймите профессионала, ему бедт проще.

Решение о предоставлении квартир очередникам принимают исполнительные органы власти, а не "Россия".
Для того, чтобы иметь право требовать чего-то у уполн. органов власти, надо такое право получить- стать очередником и отстоять в очереди.
Если Ваша семья очередники, т. е. занимаете менее учетной нормы общей площади на одного человека, и решением ораган исполнительной власти вы внесены в список плановых очередников года постановки на учет, обеспечиваемых в текущем году, а Вам не предоставляют вообще, или предоставляют менее нормы обеспечения (18м. на человека) , то это конечно нарушение Вашего права.
Впрочем, в первом случае- возможна задержка, не всегда планы исполняются во время- получите в начале-середине след. года. Побыстрее не получится- по закону - в порядке очереди- 20 лет можете ждать. Вне очереди- только тяжелобольные по списку заболев. . утв. пост. правит. РФ.

Почему бы не начать с муниципалитета?

неа не советую этого делать

Для этого должны быть основания. Но вообще, судится с Россией.... звучит не понятно....