в течение какого времени государство может предъявить право на квартиру (наследников нет) , когда сроки истекают?

В начале необходимо признать эту недвижимость вымороченным имуществом по решению суда, при условии, что жилье было в собственности.
В ст. 1151 Гражданского кодекса РФ, введенной в действие с 1 января 2002 г. , предусмотрено, что порядок наследования и учета выморочного имущества, а также порядок передачи его в собственность Российской Федерации, в собственность субъектов Российской Федерации или в собственность муниципальных образований определяются законом.
Согласно ст. 4 Федерального закона от 26.11.2001 N 147-ФЗ "О введении в действие части третьей Гражданского кодекса Российской Федерации" изданные до введения в действие части третьей ГК РФ нормативные акты Верховного Совета РСФСР, Верховного Совета Российской Федерации, не являющиеся законами, и нормативные акты Президиума Верховного Совета РСФСР, Президента Российской Федерации и Правительства Российской Федерации, а также применяемые на территории Российской Федерации нормативные акты Верховного Совета СССР, не являющиеся законами, и нормативные акты Президиума Верховного Совета СССР, Президента СССР и Правительства СССР по вопросам, которые согласно части третьей ГК РФ могут регулироваться только федеральными законами, действуют впредь до введения в действие соответствующих законов.
В соответствии с Положением о порядке учета, оценки и реализации конфискованного, бесхозяйного имущества, имущества, перешедшего по праву наследования к государству, и кладов, утвержденным Постановлением Совета Министров СССР от 29.06.1984 N 683, и Инструкцией Минфина СССР от 19.12.1984 N 185 "О порядке учета, оценки и реализации конфискованного, бесхозяйного имущества, имущества, перешедшего по праву наследования к государству, и кладов" работу по учету, оценке и реализации имущества, перешедшего по праву наследования государству (выморочного имущества) , осуществляют налоговые органы.
Аналогичные нормы закреплены в пп. "к" п. 16 и пп. "к" п. 18 Указа Президента Российской Федерации от 31.12.1991 N 340 "О Государственной налоговой службе Российской Федерации".
В соответствии с п. 1 ст. 30 Налогового кодекса РФ, ст. 1 Закона Российской Федерации от 21.03.1991 N 943-1 "О налоговых органах Российской Федерации" налоговые органы составляют единую централизованную систему контроля за соблюдением законодательства о налогах и сборах, за правильностью исчисления, полнотой и своевременностью внесения в соответствующий бюджет налогов и сборов, а в случаях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, за правильностью исчисления, полнотой и своевременностью внесения в соответствующий бюджет иных обязательных платежей. В указанную систему входят федеральный орган исполнительной власти, уполномоченный по контролю и надзору в области налогов и сборов, и его территориальные органы.
Согласно п. 1 Положения о Федеральной налоговой службе, утвержденного Постановлением Правительства Российской Федерации от 30.09.2004 N 506, Федеральная налоговая служба является уполномоченным федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функцию по контролю и надзору за соблюдением законодательства о налогах и сборах.
Таким образом, администратором денежных средств от распоряжения и реализации имущества, перешедшего по праву наследования государству (выморочного имущества) , является Федеральная налоговая служба.
Правомерность вышеизложенных выводов подтверждается правоприменительной практикой (см. , например, Постановления ФАС Волго-Вятского округа от 24.04.2006 N А17-4735/5/2005, от 30.03.2006 N А17-4736/5/2005).

Статья 225 ГК РФ. Бесхозяйные вещи

1. Бесхозяйной является вещь, которая не имеет собственника или собственник которой неизвестен, либо вещь, от права собственности на которую собственник отказался.
2. Если это не исключается правилами настоящего Кодекса о приобретении права собственности на вещи, от которых собственник отказался (статья 226), о находке (статьи 227 и 228), о безнадзорных животных (статьи 230 и 231) и кладе (статья 233), право собственности на бесхозяйные движимые вещи может быть приобретено в силу приобретательной давности.
3. Бесхозяйные недвижимые вещи принимаются на учет органом, осуществляющим государственную регистрацию права на недвижимое имущество, по заявлению органа местного самоуправления, на территории которого они находятся.

По истечении года со дня постановки бесхозяйной недвижимой вещи на учет орган, уполномоченный управлять муниципальным имуществом, может обратиться в суд с требованием о признании права муниципальной собственности на эту вещь.

Бесхозяйная недвижимая вещь, не признанная по решению суда поступившей в муниципальную собственность, может быть вновь принята во владение, пользование и распоряжение оставившим ее собственником либо приобретена в собственность в силу приобретательной давности.

не раньше 6 месяцев.