через какое время государство утрачивает право на жилье, если вовремя не предъявило права на нее, т. к. наследников нет

государство не утрачивает прав на такое жилье, а приобретает его признав по суду такое имущество ВЫМОРОЧЕННЫМ.
В начале необходимо признать эту недвижимость вымороченным имуществом по решению суда, при условии, что жилье было в собственности.
В ст. 1151 Гражданского кодекса РФ, введенной в действие с 1 января 2002 г. , предусмотрено, что порядок наследования и учета выморочного имущества, а также порядок передачи его в собственность Российской Федерации, в собственность субъектов Российской Федерации или в собственность муниципальных образований определяются законом.
Согласно ст. 4 Федерального закона от 26.11.2001 N 147-ФЗ "О введении в действие части третьей Гражданского кодекса Российской Федерации" изданные до введения в действие части третьей ГК РФ нормативные акты Верховного Совета РСФСР, Верховного Совета Российской Федерации, не являющиеся законами, и нормативные акты Президиума Верховного Совета РСФСР, Президента Российской Федерации и Правительства Российской Федерации, а также применяемые на территории Российской Федерации нормативные акты Верховного Совета СССР, не являющиеся законами, и нормативные акты Президиума Верховного Совета СССР, Президента СССР и Правительства СССР по вопросам, которые согласно части третьей ГК РФ могут регулироваться только федеральными законами, действуют впредь до введения в действие соответствующих законов.
В соответствии с Положением о порядке учета, оценки и реализации конфискованного, бесхозяйного имущества, имущества, перешедшего по праву наследования к государству, и кладов, утвержденным Постановлением Совета Министров СССР от 29.06.1984 N 683, и Инструкцией Минфина СССР от 19.12.1984 N 185 "О порядке учета, оценки и реализации конфискованного, бесхозяйного имущества, имущества, перешедшего по праву наследования к государству, и кладов" работу по учету, оценке и реализации имущества, перешедшего по праву наследования государству (выморочного имущества) , осуществляют налоговые органы.
Аналогичные нормы закреплены в пп. "к" п. 16 и пп. "к" п. 18 Указа Президента Российской Федерации от 31.12.1991 N 340 "О Государственной налоговой службе Российской Федерации".
В соответствии с п. 1 ст. 30 Налогового кодекса РФ, ст. 1 Закона Российской Федерации от 21.03.1991 N 943-1 "О налоговых органах Российской Федерации" налоговые органы составляют единую централизованную систему контроля за соблюдением законодательства о налогах и сборах, за правильностью исчисления, полнотой и своевременностью внесения в соответствующий бюджет налогов и сборов, а в случаях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, за правильностью исчисления, полнотой и своевременностью внесения в соответствующий бюджет иных обязательных платежей. В указанную систему входят федеральный орган исполнительной власти, уполномоченный по контролю и надзору в области налогов и сборов, и его территориальные органы.
Согласно п. 1 Положения о Федеральной налоговой службе, утвержденного Постановлением Правительства Российской Федерации от 30.09.2004 N 506, Федеральная налоговая служба является уполномоченным федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функцию по контролю и надзору за соблюдением законодательства о налогах и сборах.
Таким образом, администратором денежных средств от распоряжения и реализации имущества, перешедшего по праву наследования государству (выморочного имущества) , является Федеральная налоговая служба.
Правомерность вышеизложенных выводов подтверждается правоприменительной практикой (см. , например, Постановления ФАС Волго-Вятского округа от 24.04.2006 N А17-4735/5/2005, от 30.03.2006 N А17-4736/5/2005).

Никогда не утрачивает. Срока в законе нет.
Возможно лишь в том случае, право собственности будет признано за кем-л. судом в силу приобретательной давности

наоборот, когда наследники не объявились, квартира отойдет государству.

Государство вопрос с такой формулировкой не воспримет серьёзно. Случай из ТВ ; 5 лет назад в г. Москве незаконно была продана кв. (в связи со смертью владельца) . Сейчас, после Лужкова, у нынешних владельцев квартиру изымают в жилфонд г. Москвы, так как виноватых найти не удалось.