Можем ли мы получить квартиру?

Рассчитывать можно.. .
А вот получить реально - сомневаюсь.

В минстроительтва и архитектуры своего региона- Программа молодая семья-субсидия. По ипотеке Молодой семье-инфа в Сбербанке. Служба трудоустройства-программа по трудоустройству с предоставлением жилья от предприятий в других регионах, помощь в организации бизнеса и льготной аренды помещений. Молодые везде нужны, и в Европу стареющую приглашают с детьми.

От ЭТОГО государства нет. Какие основания? Мать ребёнка имеет регистрацию? -Регистрировать ребёнка туда же, это прописано законом.
Судите сами: кто будет покупать и снимать квартиры, если было бы можно получить квартиру по договору социального найма? Это же социализм, а страна усиленно голосует (или сидит дома и не ходит на выборы...! ) за "ед. ро. "..,которая лоббирует интересы не таких семей, как Ваша, а олигархов и чиновников.

Только по месту постоянной регистрации вы сможете встать на учет по улучшению жилищных условий.

если родители живут без регистрации (по сути бомжи) , то государство вам ничего не должно, ведь где то раньше вы были прописаны, почему лишились прописки? продали квартиру? . Ребенка обязаны прописать только по месту регистрации родителей

Абсолютно все гос. программы по улучшению жил. условий действуют для лиц, признанных нуждающимися в таком улучшении ("очередники" в просторечьи) . Встать на учёт, как нуждающиеся в улучшеннии жил. условий, Вы можете по месту постоянной регистрации. Учёиные нормы и к-во прожитых в нас. пункте лет, для того, чтобы стать на очередь немного отличаются в разных регионах РФ.
Что значит "некуда прописывать ребёнка"? Ребёнка прописывают по месту жительства родителей (одного из родителей) , отказать в регистрации ребёнка Вам никто не может, для этого не нужно согласия остальных собственников/съемщиков/проживающих (ст. 31ЖК РФ- для частн. соб-ти; ст. 67, 69 -для дог. соц. найма) . Если у Вас есть где-то регистрация, прописывайте туда ребёнка и вставайте там на очередь. Другое дело, если Вы лица БОМЖ (не имеете пост. места жительства и нигде не зарегистрированы) , тогда улучшить жил. условия с помощью гос-ва у Вас не получится, по сути улучшать нЕчего- жилья-то нет.
В любом случае нужно понимать, что любая гос. программа подразумевает СОДЕЙСТВИЕ в улучшении жил. условий, т. е. в схему включается имеющееся у граждан жильё, добавляются личные средства, используются средства кредитования и т. д. и т. п. Просто купить Вам квартиру государство не обязано, оно обязано содействовать осуществлению Вами права на жилище (ст. 2 ЖК РФ) , не более того.
У нас рынок на дворе, квартира не только жилище, но и товар, он денег стоит и немалых.