прописка несовершеннолетнего

Зарегистрировать без согласия ...может только собственного несовершеннолетнего ребенка ( в свидетельстве о рождении он должен быть записан как отец) . до 14 лет. ст 70 ЖК РФ Согласие матери ребенка нужно . ст. 66 СК РФ Сняться сам с рег учета и оставить зарегистрированным ребенка без родителей (опекунов) не может. ст. 20 ГК РФ Мама может продать только свою долю, предварительно предложив выкупить остальным сособственникам.

родитель может зарегистрировать своего (по документам) несовершеннолетнего ребенка без согласия других собственников

Регистрация несовершеннолетних не требует согласия остальных владельцев долевой (общей) собственности.
Кроме того, у сына ещё и преимущественное право покупки, потому мать просто так и продать квартиру не сможет.
Кроме того, он может просто подарить сыну свою долю, тогда продать её будет ещё сложнее.
Кроме того, если бы он хотел сделать назло, он бы подарил свою долю цыганам.

Я так понимаю, квартира муниципальная? Сын ( несовершеннолетний) должен проживать вместе с родителями или законными опекунами.
На прописку в муниципальную квартиру постороннего человека нужно согласие всех постоянно проживающих, и то не факт, что паспортный стол пропишет.
Если квартира приватизирована и и сын имеет 1\5 долю, на прописку людей не являющихся наследниками 1-й очереди ( супруга, родители и дети) так же нужно разрешение со дольщиков

необходимо не только свидетельство о рождении с его фамилией но и запись о ребенке в паспорте (насколько я помню) он его спокойно прописывает и все .
проблем добавится лишь в том что потребуется разрешение органов опеки и попечительства, но если им объяснить ситуацию они найдут правовой компромисс.

Прописка (регистрация) не даёт право на часть собственности.