дело проиграно в суде...

Через суд взыщут компенсацию за поврежденное имущество + расходы на экспертизу + оплату госпошлины + оплату услуг представителя. Не знаю всех особенностей Вашей ситуации, но при обычных обстоятельствах дело на 80% проигрышное, поэтому ознакомьтесь с оценочным актом независимой экспертизы, если он окажется адекватным - старайтесь договориться без суда. Если дело уже в суде - сводите всё к мировому соглашению, в этом случае пошлина, оценка и услуги представителя остаются за понесшей данные расходы стороной (если в соглашении не указано иное) .
Если бодаться - то устанавливать причины протечки, место протечки, Вашу вину в данном вопросе, оспаривать экспертную оценку имущества, затягивать процесс и сводить всё к мировому соглашению, в котором предлагать 30-50% от стоимости поврежденного имущества.

Судебные расходы взыскиваются с проигравшей строны. К ним относятся оплата труда оценщика (эксперта) представителя, переводчика и т. д и т. п.

Не бойтесь суда. Что вы получите то получите. оценщика сначало оплачивает истец, в случае если дело выграно, ответчик обязан все возместить (госпошлину, фотографии, адвоката и тд и тп.)

Здравствуйте. По вашему вопросу я понял, что суда у вас еще не было. А потому, вам не помешает сопровождение юриста по данному вашему делу и консультации. Я юрист с высшим образованием, за небольшую плату могу вам помочь минимизировать ваши расходы, проконсультировать более подробно. Если согласны, пишите на электронную почту.

За оценку ущерба будет платить пострадавшая сторона поскольку это в их интересах! После этого пострадавщей стороне будет легче выиграть дело в суде. Но чтобы пострадавшая сторона выиграла она должна доказать сначала что затоплена их квартира (доки на собственность, аренду) , сумму ущерба (акт, оценка) , что затоплена она по Вашей вине (а не скажем по вине жилищников) (акт) . Желательно убедительнее.
В ходе судебного разбирательства Вы, как ответчик по делу, вправе ходатайствовать перед судом о проведении экспертизы для опровержения их оценки. В этом случае за экспертизу должны будете заплатить Вы. Стоимость экспертизы Вам смогут сказать в судебно-экспертном учреждении, как правило, это ЦЕНТР НЕЗАВИСИМЫХ ЭКСПЕРТИЗ (если в Вашем регионе есть такой) . Вы можете позвонить туда и до суда и узнать стоимость подобной экспертизыЕсли Вы согласны с размером подсчитанного ущерба, то можете в досудебном порядке предложить вариант компенсации причиненного вреда. На основании пункта 3 статьи 1083 Гражданского кодекса Российской Федерации "суд может уменьшить размер возмещения вреда, причиненного гражданином, с учетом его имущественного положения, за исключением случаев, когда вред причинен действиями, совершенными умышленно".

См. ст. ст. 98, 100 ГПК РФ.