Скажите пожалуйста алгоритм действий для прописки в новой квартире. Текущая прописка в другом регионе. Спасибо!

Идете со всем документами в местный регистрационный отдел, пишите заявление на регистрацию по новому мсту жительства и одновременно заявление на снятие с регистрации по старому месту, приносите конверты по России. Сотрудники самостоятельно отошлют запрос на снятие с регистрации по старому месту жительства. Штамп о регистрации поставят сразу, не дожидаясь ответа с прежнего места.

подаете заявление на регистрацию по новому месту жительства и все
ФМС сами снимут вас с учета по прежнему месту жительства

Адм. регламент, утв. приказом Федеральной миграционной службы
от 20 сентября 2007 г. N 208

16. Для регистрации по месту пребывания гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:
документ, удостоверяющий личность;
заявление о регистрации по месту пребывания по форме N 1 (приложение N 1 к Регламенту) ;
документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина по указанному адресу (договор найма (поднайма) , заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение) .
17. Для регистрации по месту жительства гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:
документ, удостоверяющий личность;
заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 6 к Регламенту) ;
документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение (заявление лица (лиц) , предоставившего гражданину жилое помещение, договор, свидетельство о государственной регистрации права (права собственности на жилое помещение) , решение суда о признании права пользования жилым помещением либо иной документ или его надлежащим образом заверенная копия, подтверждающие наличие права пользования жилым помещением) . Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов.
Граждане, снявшиеся с регистрационного учета по месту жительства до прибытия к новому месту жительства, представляют адресный листок убытия по форме N 7 (приложение N 7 к Регламенту) , выданный уполномоченным органом по прежнему месту жительства*(25).