Сколько раз в год слесарь может приходить и снимать показания счетчиков воды? Есть ли законный документ? 

Правила предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в в многоквартирных домах и жилых домов. Утверждены Пост. Прав. РФ от 6.05.2011(Постановление № 307 (по этому же вопросу) утратило силу) .
пп. Ж п. 34 - в заранее согласованное в порядке, указанном в пункте 85 настоящих Правил, время, но не чаще 1 раза в 3 месяца;

да каждый месяц может ходить...

Трижды в год заранее согласованное время. Читайте Правила оказания комм. услуг.

Снимаются показания раз в полгода, сам как-то там работал. И преходить человек должен либо в вечерние часы, либо в выходные. Вы ни в коей мере не должны зависеть от этого. К сожалению номер нормативно-правового акта я не знаю, но год назад было так.

Постановление Правительства РФ от 23 мая 2006 г. N 307 "О порядке предоставления коммунальных услуг гражданам"
Согласно :
50. Исполнитель имеет право (т. е. ТСЖ) :
б) требовать допуска в заранее согласованное с потребителем время в занимаемое им жилое помещение работников или представителей исполнителя (в том числе работников аварийных служб) для осмотра технического и санитарного состояния внутриквартирного оборудования и выполнения необходимых ремонтных работ, а для ликвидации аварий - в любое время;
г) в заранее согласованное с потребителем время, но не чаще 1 раза в 6 месяцев, осуществлять проверку правильности снятия потребителем показаний индивидуальных приборов учета, их исправности, а также целостности на них пломб;

и соответсвенно
52. Потребитель обязан (т. е. ВЫ) :
д) допускать в заранее согласованное с исполнителем время в занимаемое жилое помещение работников и представителей исполнителя (в том числе работников аварийных служб) , представителей органов государственного контроля и надзора для осмотра технического и санитарного состояния внутриквартирного оборудования и выполнения необходимых ремонтных работ, а представителей исполнителя (в том числе работников аварийных служб) для ликвидации аварий - в любое время;
е) в заранее согласованное с исполнителем время (не чаще 1 раза в 6 месяцев) обеспечить допуск для снятия показаний общих (квартирных) и индивидуальных приборов учета;

Может быть, Вы ему понравились? Вот и ходит.