Оформление бабушкой Дарственное .

Квартира кооперативная, собственник бабушка. После смерти бабушки наследниками первой очереди будут -дедушка (как муж), Ваша тетя (как ее дочь) и Вы (тоже наследник первой очереди по праву представления за вашим отцом, являющимся сыном бабушки). Так что наследство поделится на троих, если бабушка не напишет завещания. Прописка никакого отношения к наследству не имеет вообще

1. Прописки нет ни у кого на свете.
2. Регистрация не даёт прав на собственность.
3. Если квартира муниципальная, то договор дарения ничтожен, т. к. квартира не является собственностью бабушки.
4. Если квартира муниципальная, то зарегистрировавшись в ней, Вы не становитесь собственником, а будете иметь право пользования ею. Впоследствии сможете её приватизировать (если успеете)
5. Если квартира в собственности бабушки, то осуществить её желание можно заключением договора дарения или составлением завещания.
6, 7,8,9....И многое, многое другое....

Уточни вопрос - кому принадлежит квартира ?

Вы не написали главного.... Кто является собственником квартиры? Факт регистрации (или как Вы пишите - прописки) абсолютно ничего не значит. .
Если квартира бабушки - то помимо Вас, на нее еще найдется много претендентов - муж (Ваш дедушка) , и ее дочь. А Вы будете наследником второй очереди.
Так что, если Вы хотите быть собственником - или договор дарения (Что самый лучший вариант) , либо завещание (но его можно отменить)

Как понятно из вопроса. квартира не приватизирована. следовательно. бабушка права, при Вашей регистрации в данной квартире. Вам она и останется. (если больше никто не будет в квартире зарегистрирован, кроме Вас).