может ли хозяйка квартиры выселить семью с тремя маленькими детьми раньше срока, если сдаёт это жилье нелегально?

Она собственник, имеет свои планы-имеет право свободно распоряжаться, а договора между вами о найме. Это не только ваше слабое место.
У нее слабое место относительно- неуплата налога от дохода за сдачу в наем.
Но деньги то вы не ей отдавали. а видимо ее брату, и хз брали ли у брата расписку.
Так что запугать ее в ответ, что пожалуетесь в налог. органы на нее за неуплату налогов. если она ультимативно так скоро требует освободить квартиру, не удастся вам.
Просите по хорошему достаточное время у нее- найти иное жилое помещения для найма, собрать вещи, вывезти мебель.
Выселение ваще только через суд.
А это долгая песня все равно, и все равно вы ведь освободите жилое помещение и ранее, чем будет решение суда о выселении.
Квитанции по оплате жилищ. и комм. услуг из рук не выпускайте.
если собственник вызовет полицию и будет жаловаться на самозахват и незаконное вселение и требовать выселения, то полицейский ее в суд пошлет за реш. суда о выселении.
а вы покажете полицейскому свои платежки. скажете. что сдали вам в наем. что вы живете и добросовестно оплачивали жилищ. и комм. услуги и наем. если есть чем подтвердить (расписки брату) . что мол договора о найме в письм. виде нет. был устный договор с братом собственника.
Что вы люди простые. неискушенные в нормах права. но добросовестные. проживали. содержали жилое помещение в порядке и оплачивали наем и ЖКх. что конечно освободите в ближайшее время и срочно подыскиваете себе сейчас иное жилье.. .
полицейский с тем и уйдет.
а хозяйка подождет.
Но м. б. и др. расклад.
Смена замков хозяйкой и не пускать вас в жилое помещение- к вашим вещам. мебели. докам вашим. кот. хранятся там, это сурово будет. хоть счас и не зима.
А может заявить и о пропаже своих вещей ( вы упоминали об одной закрытой комнате с ее вещаит) или порче этих вещей. и на вас еще и дело заведут. как на главных подозреваемых.
так что, оцените риски. вы хозяйку видели. говорили с ней. какова она. как настроена.
М. б. лучше срочно вывезти вещи. пока сами целы и вещи ваши целы. и перекантоваться где-то с детьми. пока не найдете себе др. квартиру.

на будущее- см. правомочия собственники при найме квартиры- только с ним договор. если собственников несколько- то со всеми.
договор найма в письм. форме обязательно с паспортными данными сторон, сроками. условиями проживания. оплаты за наем . и ЖКХ. порядок расторжения договора и прочее- чтоб все было в договоре.
если не собственник сдает. то только по нотар. доверенности от собственника. в кот. написано. что этому лицу предоставлено право от имени собственника сдавать в наем эту квартиру. заключать договор. определять условия договора. размер оплаты и порядок расчетов. получать деньги по договору.

Если нелегально значит и сроков нет никаких

Вот поэтому и надо заключать договор.

Если вы не заключали договор, то хозяйка может потребовать освободить квартиру в любое время.

Был бы договор - были бы защищены, а так - Вас выгнать могут в любой момент. Могут даже просто не пустить в дом.

Нет. При отсутствии договора-выселяться. И впредь не быть наивными. Квартира-собственность, не ясно, имел ли право брат вообще ей распоряжаться. Вы поселились нелегально в чужой квартире) Вас просят ее покинуть-пока только просят)))...

Хорошо, что ещё она дала Вам 10 дней (нет договора - нет прав и обязательств) .
Некоторые дают 10 минут на сборы и за порог.

(Риэлтор - опыт 17 лет)

Вы абсолютно не защищены, т. к. не заключили договор найма дома. Владелица дома спокойно может сменить замки и выставить Вас и Ваши вещи на улицу. Ничего не остается как согласиться с её условиям и и за 10 дней найти себе новое жилье, но уже заключать договор найма.

Нет вы не как не защищены. ((( Как не печально надо выселяться. Попробуйте договориться, проживать там пока не найдете квартиру. Доказать устный договор очень тяжело.