С какого момента я могу воспользоваться дарственной на квартиру?

и правильно боится.
и не надо дарить вам.
Договор дарения с регистрацией его- при жизни дарителя и одаряемого.
после смерти собственника- наследники по закону или завещанию.
Пусть отец завещание пишет. если хочет спокойно умереть в своей квартире

Дарственной нельзя воспользоваться с момента .
Нужны добрая воля дарителя передать, и согласие одаряемого принять, выраженные в договоре дарения.
Договор такой ( дарение недвижимости) действителен только с даты его регистрации. Регистр. также и переход в одаряемому права собственности.
Вот как получит одаряемый свидетельство о праве собственности. тогда может свободно распоряжаться.

Жизнь - штука непредсказуемая. Вдруг когда-то появится у тебя муж, который поставит тебе ультиматум: квартира твоя, гони в шею батю с его бабой.... и ты не сможешь ему отказать.. . Поэтому беспокойство отца небеспочвенно, но несмотря на это он все равно собирается сделать на тебя дарственную. Знаю, что есть такая дарственная, чтоб вступала в силу после смерти дарителя...

после смерти дарственная не работает. принять дар то есть регистрировать в Росреестре надо до смерти дарителя. если боится пусть пишет завещание.

Оформляйте договор пожизненной ренты и будет отец спокоен. Квартира будет Ваша собственность, но находиться под обременением (пожизненное проживание отца с его женой) Это означает, что Вы не сможете выгнать отца с его женой и продать квартиру. После их смерти снимите обременение и делайте с ней. что хотите.
Дарение совершается при жизни и не может" вступать в силу после смерти",как написала Вам Olga.
После смерти отца Вы можете только ее наследовать по закону или по завещанию.

Имеете право воспользоваться и выгнать, но расписку такую вам никто не даст. А если в дарственной такое напишете - она вообще будет считаться недействительной.