Хозяин квартиры мой двоюродный дедушка ( или родной брат моей умершей бабушки) как я могу доказать свое родство с ним ?

1. Свидетельства о рождении (двоюродного деда и Вашей бабушки) - доказываете их. родство по родителям.
2. Свидетельсво о браке бабушки (смена фамилии) . Свидетельство о рождении Вашего родителя ( не ясно, бабушка по линии отца или матери? )
Далее свидетельство о браке Вашего родителя, Ваше свидетельство о рождении, Ваше свидетельство о браке. Если были рассторжения браков - справки о смене фамилий,

Кроме того, не совсем ясна Ваша обстановка по наличию родственников со стороны деда, предположительно, наследницей ПО ЗАКОНУ Вы являться не будете.
А при желании в завещании Ваш дед может указать только Вашу фактическую ФИО, без указания родственных связей. тогда при вступлении в наследство не будет необходимости доказывать родственную связь.

Договаривайтесь с дедом, приглашайте на дом нотариуса и оформляйте договор дарения квартиры.

То, что вы за ним ухаживаете, никаких прав на квартиру вам не дает.
Так как есть у него более близкие родственники - наследники первой очереди.
Ежели хотите, чтоб квартира стала вашей, уламывайте дудулю на передачу квартиры вам еще при его жизни.
Через дарение или продажу.
После его смерти набежит родня и вам фиг чего достанется.

Так в в крайнем случае будешь наследницей 4-й очереди.. . скорее всего у него есть кто-то роднее тебя.

и в довесок ко всем ответам - квартира муниципальная

При наличии других наследников Вы вообще не наследуете. Так что не нужно тратить время попусту на подтверждение родства.

Пускай напишет завещание или оформит ренту при жзни. Родство доказывать можно при помощи запросов от нотариуса, но могут всплыть и другие наследники.

Документы: св-во о рождении деда и бабушки, вашего родителя, вас; св-ва о браке всех кто менял фамилию, св-ва о смерти родителя, бабушки... Все это берется в ЗАГСе или в архиве (если бабушка-дедушка родились в начале прошлого века) .
Уговорите дедулю составить договор дарения. Это можно сделать и дома, предварительно посоветовавшись с юристом как в вашей ситуации лучше оформить, чтобы не тащить дедулю в Росреестр.. .
Можно пригласить нотариуса на дом и составить завещание в вашу пользу. Надо только учесть имеются ли лица, которым положена обязательная доля в наследстве. Если таковых нет, то завещание -тоже вариант для вас ведь завещать можно кому угодно вне степени родства.
Собрать документы для подтверждения родства тоже можно, но будете ли вы единственным претендентом при наследовании по закону?

то что вы ухаживаете прав на наследство вам не даёт... наследники и другие найдутся. так что если ваш дед в памяти. то поговорите с ним и пригласите нотариуса на дом. пусть дед подпишет договор ренты. тогда уж никто ничего не оспорит, и вам не надо будет что то доказывать.

приобрети генеологическое древо, а вообще это и так понятно, ведь он брат твоей родной бабушки)