Умоляю ответьте !

Если собственник квартиры - свекровь, то иск мог быть только к свекрови от УК или поставщика услуги. А свекровь могла подать иск к вам. ЕЕ право распоряжаться своей квартирой по своему усмотрению - и за налоги ей отвечать.
Прописка (по правильному регистрация) - если в Питере вы зарегистрированы по месту жительства (т. е. постоянная прописка - не по месту проживания! - это временная) , то вы давно выписаны со старого места регистрации автоматически.

В суде можно доверенность от вас, с печатью с вашего места жительства без нотариуса.

Реально. Полгода - не срок. Доверенность - разумеется. Только надо определиться с исковыми требованиями. Можно потребовать пересмотра дела в Вашем присутствии, но платить за тепло придется в любом случае. За свет-воду можно не платить если сможете доказать свое непроживание (и если Ваши доказательства захотят принять во внимание) . Это за личное или квартирное потребление. За общедомовое платить придётся в любом случае. А насчитывают за общедом. нужды сейчас много. Так что скорейшая выписка в Ваших интересах. С другой стороны исполнять решение суда в данном случае будет затруднительно. В самом крайнем случае попробуйте договориться с тем, кто будет это решение о взыскании исполнять, чтоб Вас не сильно грабили. Они тоже людьми иногда бывают. Неприятно, но не катастрофа.

"Узнала по телефону... " - а, может, это пиздёж? Вы копию решения суда и исполнительный лист видели?