обязаны ли жители России арендуя квартиру в другом российском городе регистрироваться в ней, или можно жить арендуя

По истечении 90 дней вы должны зарегистрироваться по закону. Если не придет участковый это не обязательно делать, а если вдруг нагрянет-можно ему сказать, что проживаете в данной квартире менее 90 дней и он ничего не сможет вам предъявить, но только потом он обязательно вернется проверить.

Но как правило наши участковые такими проверками занимаются редко, да они вообще ни чем не занимаются)

в течение суток встать на учёт в полиции, иначе-до 15 суток ареста

Первый ответ безграмотный, второй шутливый, третий правильный и в смысле правил регистрации и по жизненной правде.

.Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок свыше 90 дней, обязаны по истечении указанного срока обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:
...
ПП РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 26.10.2011) "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию")
КОАП РФ Статья 19.15. Проживание гражданина Российской Федераци.... без регистрации
....по месту пребывания или по месту жительства -
влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч пятисот рублей.

И помним, что мы не обязаны открывать дверь никому, включая полицейского, доказывать, что приехали не вчера.. .