обязательна ли регистрация по месту жительства?

Нет такой необходимости.

ТО о чём ВЫ спрашиваете, называется регистрацией по месту прибывания... И она обязательная в случае выезда и проживания (временно) в другом населённом пункте.
А в Вашем случае ответ -НЕТ

Статья 19.15. Проживание гражданина Российской Федерации без удостоверения личности гражданина (паспорта) или без регистрации

1. Проживание по месту жительства или по месту пребывания гражданина Российской Федерации, обязанного иметь удостоверение личности гражданина (паспорт) , без удостоверения личности гражданина (паспорта) или по недействительному удостоверению личности гражданина (паспорту) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства -
(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 161-ФЗ)
влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч пятисот рублей.
(в ред. Федеральных законов от 25.10.2004 N 126-ФЗ, от 22.06.2007 N 116-ФЗ)
2. Допущение лицом, ответственным за соблюдение правил регистрационного учета, проживания гражданина Российской Федерации без удостоверения личности гражданина (паспорта) или по недействительному удостоверению личности гражданина (паспорту) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства, а равно допущение гражданином проживания в занимаемом им или в принадлежащем ему на праве собственности жилом помещении лиц без удостоверения личности гражданина (паспорта) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства -
влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до двух тысяч пятисот рублей.
(в ред. Федеральных законов от 25.10.2004 N 126-ФЗ, от 22.06.2007 N 116-ФЗ)

Статья 19.15 КоАП, Проживание гражданина Российской Федерации без удостоверения личности гражданина (паспорта) или без регистрации

1. Проживание по месту жительства или по месту пребывания гражданина Российской Федерации, обязанного иметь удостоверение личности гражданина (паспорт) , без удостоверения личности гражданина (паспорта) или по недействительному удостоверению личности гражданина (паспорту) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства -влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч пятисот рублей.
Так что получается обязательно, но с другой стороны если ты не лицо кавказкой национальности, то врядли тебя на каждом углу будут останаливать и смотреть регистрацию