Перевести свою долю в квартире на мать. Как это сделать?

Нет "1.2 части", м. б. 1/2 доля в жилом помещении.
Если куплена в долевую собственность допустим квартира в 2005 году, и у вас 1/2 доля в собственности, то пр. доли у кого?
Если с мужем в долевую собственность купили в браке, то хоть при продаже, хоть при дарении этой вашей доли нужно его согласие. Если конечно вы не в разводе и раздел совм. нажитого в браке имущества уже произведен.
"Перевести свою долю в квартире" - нельзя.
Можно отчуждать долю- продать, подарить например.
Если отчуждение безвозмездное, то это договор дарения ( вы даритель-собственник, мать ваша- одаряемый по этому договору) .
Договор дарения должен соотв. требованиям закона: предмет нужно указать точно, и без условий дарение должно быть.
Если отчуждение возмездное, то это договор купли-продажи, вы- собственник- продавец, мать- покупатель.
Прикрывать одну сделку другой не следует.
При продаже сособственник имеет преимуществ. право выкупа вашей доли по ст. 250 ГК РФ, следовательно сначала ему предложить выкуп, и если он не ответит или откажется, можете продавать любому желающему, матери в том числе по той же цене.
Нам неизвестно, что Вы имеете в виду, под словами "оспорить".
Если сделка не соотв. закону, или наруш. чьи-то права, она может быть ничтожной (недействительной) признана законом или реш. суда, и с последствиями недействительности сделки.
Любой дурак с мороза имеет возможность обратиться в суд и "оспорить" все, что угодно. Это его право. Есть ли хоть малейшие основания или здравый смысл- неважно, для подачи иска гл. соблюсти требования ГПК РФ.
Будет ли удовлетворено его требование, решит суд.

если 1.2 доли вам, то вторая половина кому? при продаже вы должны предложить выкупить ее другим собственникам

Вася дал полный и развёрнутый ответ. Если попытаться сократить его до формата смс, то можно ответить так: лучше подарить. если ваша доля не является совместно нажитым в браке имуществом, то ничьего согласия на дарение не потребуется.

у нас в стране все имеет заявительный характер отношений. оспорить можно все, не факт что получится.. так что вы в вопросе бы подробнее указали кто именно владельцы, как квартира оформлена, на основании чего, в браке или нет. вам бы подробно все и ответили.

оспорить можно все, был бы повод. Поэтому можете выбрать, то что Вам больше нравиться.