какие права у собственника 1/3 квартиры, который не прописан? Он имеет право жить в квартире или сдавать?

Собственник имеет право владеть, пользоваться и распоряжаться принадлежащим ему имуществом.
Проживать в квартире он имеет полное право. отсутствие регистрации на указанной жил. площади значения не имеет.
Сдавать долю квартиры собственник вправе только по соглашению с остальными участниками долевой собственности (ст. 246, 247 ГК РФ) .
В случае продажи (или мены) доли квартиры сособственики имеют право преимущественной покупки продаваемой доли квартиры - ст. 250 ГК РФ.
Удачи!

Собственник имеет право проживать в квартире, но сдавать - с согласия других собственников. Прописка (постоянная регистрация) ни при чем

Собственник 1/3 доли жилья вправе проживать в квартире вне зависимости от наличия прописки, поскольку это является элементом пользования принадлежащим ему имуществом.
Сдавать свою долю он вправе, но только с согласия других сособственников квартиры. В теории - спорные вопросы между сособственниками разрешаются в суде. На практике - дать такое согласие их не вправе никто принудить, даже суд.

Статья 247 ГК РФ. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности
1. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех ее участников, а при недостижении согласия - в порядке, устанавливаемом судом.
2. Участник долевой собственности имеет право на предоставление в его владение и пользование части общего имущества, соразмерной его доле, а при невозможности этого вправе требовать от других участников, владеющих и пользующихся имуществом, приходящимся на его долю, соответствующей компенсации.

Если собственник, то право на жилье имеет