Здрасти! Вопрос о прописке ребёнка.

Да, может.
Обращайтесь в суд с иском о признании ее утратившей право пользования жилым помещением. Это решение будет основанием для прекращения регистрационного учета

да.
Родит ребенка и зарегит его по своему месту пребывания- то есть в вашей квартире.
не надо было "прописывать" подругу, если на самом деле не вселяли.
Это фиктивная регистрация.
-------------
УК РФ, Статья 322.2. Фиктивная регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении в Российской Федерации и фиктивная регистрация иностранного гражданина или лица без гражданства по месту жительства в жилом помещении в Российской Федерации
(введена Федеральным законом от 21.12.2013 N 376-ФЗ)

Фиктивная регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении в Российской Федерации, а равно фиктивная регистрация иностранного гражданина или лица без гражданства по месту жительства в жилом помещении в Российской Федерации -
наказываются штрафом в размере от ста тысяч до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет, либо принудительными работами на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового, либо лишением свободы на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового.
Примечание. Лицо, совершившее преступление, предусмотренное настоящей статьей, освобождается от уголовной ответственности, если оно способствовало раскрытию этого преступления и если в его действиях не содержится иного состава преступления.
---------------------------
раз она фактически не живет, будем считать, что досрочно выбыла,
подавайте заяву в УФМС
правила регистрации п. 30
"При досрочном убытии гражданина из жилого помещения, не являющегося его местом жительства, этот гражданин либо лицо, предоставившее ему жилое помещение для временного проживания, обращается с заявлением в произвольной форме о снятии его с регистрационного учета по месту пребывания с указанием даты убытия (если такая дата известна) либо направляет заявление почтовым отправлением или через Единый портал в орган регистрационного учета, который производил регистрацию по месту пребывания этого гражданина. "

Система ГАРАНТ: http://base.garant.ru/10103761/#ixzz3zEA7jbbr
-------------
и снимут с регистр. учета ее.