Если оформить статус матери-одиночки...

В свидетельстве о рождении ребёнка одинокой матери отсутствуют сведения об отце (прочерк), ибо такие сведения внесены исключительно по указанию матери (а не совместного заявления с отцом ребёнка, что подтверждается справкой ЗАГСа).
Но, если св-во оформлено по совместному заявлению с отцом ребенка, то уже не важно рожден ребенок в браке или вне брака. Регистрируют с одним из родителей - либо с папой, либо с мамой.

"статус" мать-одиночка появляется тогда, когда вы оформляете св-во о рождении ребенка в котором в графе "отец" - прочерк, либо отец указан со слов матери.
ребенка вы сможете зарегистрировать только там, где зарегистрированы сами. нельзя ребенка зарегистрировать в квартире чужого дяди.

мать -одиночка у ребенка, в графе отец свидетельства о рождении которого стоит прочерк

Дети должны проживать с родителями (одним из них)

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов (ч. 2 ст. 20 ГК РФ).
Это значит. что несоверш. ребенок вселяется и регится по месту жительства одного из родителей с согласи др. родителя. если родители живут и зарегены в разных местах.
Если в свидет. о рождении ребенка нет отца- прочерк или со слов матери. то один родитель- мать, по ее месту жительства и регить ребенка.
Нет никакого статуса матери-одиночки, который нужно оформить.
Вы либо мать одиночка, либо нет.
Это устанавл- изучением записи об отце в свидет. о рождении ребенка, и вашим заявлением. что вы в браке не состоите.
Никаких особых льгот у матерей-одиночек нет.
Неизвестно, что вы там себе придумали и зачем.
Никто не зарегит к мужику чужому в квартиру вашего ребенка. если мужик не отец ребенка по свидет. о рождении ребенка, или если вы сами в этой квартире не зарегены.
Ничего автоматически не бывает, ваш ребенок, получила свидет. о рожд. ребенка в ЗАГС, зарегила своего ребенка по своему месту жительства. подав заяву в установл. порядке.

в России нет статуса мать-одиночка