Как мне оформить вторую половину квартиры, прошло 13 лет со дня смерти бабушки, с которой я и жил в этой квартире.

Если Вы наследник первой очереди по закону по праву представления (то есть Ваш отец/мать- сын/дочь Вашей бабушки и умер ранее нее) и приняли наследство в срок фактически, идете к нотариусу об этом сказать и просите выдать Вам свидетельство о праве на наследство, на основании которого зарегите в собственность себе в ЕГРН бабушкину долю в праве.
---
Читаете это
"Методические рекомендации по оформлению наследственных прав" (утв. Правлением ФНП 28.02.2006)
Фактическое принятие наследства
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_71348/7ca8676cc885bd3bc5093d9424bef8e36c2f5e59/
п. 37, какие действия свидетельствуют о фактич. принятии наследства
и какие документы.
Подготовите и придете с ними к нотариусу.
-----------
Вы приняли фактически наследств в срок- в течение 6 мес. с даты открытия наследства, ибо проживали (зарегены) в одном жилом помещении с наследодатеелм и там же живете после.
Заботились о сохранении имущества. оплачивали содержание и комм. услуги.
не нужны Вам никакие уважительные или др. причины "почему Вы не дошли до нотариуса".
Вы еще и нотариал. госпошлину платить не будете- льгота, поскольку вместе проживали.
Свидет. о праве на наследство можно получить через 6 мес. с даты открытия наследства и огранич. срока- нет. Хоть через 15 лет приходить можно.
----------
Это значения не имеет: "Ухаживали, помогали, хоронили. "
Ну и "закрутились" Вы сильно- на 13 лет.

спокойно обращаетесь к нотариусу за оформлением наследственных прав на фактически принятое по покойной бабушке наследство (ее половину квартиры). Вы же жили в этой квартире "целиком"...

мимо нотариуса не пройти

Вы приняли наследство фактически, так как проживали вместе с бабушкой, т е с наследодателем, теперь вам нужно обратиться к нотариусу и оформить юридически.

ваш родитель наследник первой очереди. вы его исключаете из претендентов?
ваши возможные братья/сестры ?
короче, придется идти в суд если есть возражения
кстати с бабушкой была совместная или долевая собственность? это важная тонкость.

нотариус просрочен. в суд идти надо. а уж там и доказывать наследство фактическим принятием.

насколько я знаю Если Вы наследник то по закону идете к нотариусу и просите выдать Вам свидетельство о праве на наследство но лучше вам все таки проконсультироваться у специалиста по этому вопросу я все документы заверяю у нотариуса https://www.notarymsk.com/blank-1 можете обратиться к нему