Срочно) Пожалуйста) Надо проверить, что три плоскости 2x-2y+z-3=0, 3x-6z+1=0, 4x+5y+2z=0 попарно перпендикулярны!

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Рассмотрим прямую L: и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0.
Прямая L и плоскость α:
а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т. е.
и Am + Bn + Ср = 0.

Угол между прямой и плоскостью.

Угол α между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:

Пучок плоскостей
Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением:
A1x+B1y+C1z+D1+ λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении λ определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении λ данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей.

Пример 33. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(2, -3, 4) параллельно прямым

Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку M1:
А (х - 2) + В (у + 3) + C(z - 4) = 0.

Так как искомая плоскость должна быть параллельна данным прямым, то ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен направляющим векторам этих прямых. Поэтому в качестве вектора N можно взять векторное произведение векторов :

Следовательно, А = 4, В = 30, С = - 8. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение связки плоскостей, получим
4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 или 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

Пример 34. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

Подставим эти выражения для х, у, z в уравнение плоскости:
2(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.
Подставим t = 1 в параметрические уравнения прямой. Получим

Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке М (3, 2, 7).

Пример 35. Найти угол φ между прямой и плоскостью 4x-2y-2z+7=0.
Решение. Применяем формулу (3.20). Так как то

Следовательно, φ = 30°.

Пример 36. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
и точку M1(1,-2,3).

Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:
2х + 3у - 5z + 1 + (3x- у + z + 28) = 0.

Подставив в уравнение пучка координаты точки М1. найдем значение λ:

Подставив в уравнение пучка, получим уравнение искомой плоскости:
или 7х + 5y - 9z + 30 = 0.

Задачи для самостоятельного решения.
1. При каком значении n прямая параллельна плоскости 2х +4 -6z +7=0 ?

2. При каких значениях В и D прямая лежит в плоскости 4х + By - 2z + D = 0?

3. При каких значениях m и А прямая перпендикулярна плоскости Ах -2у + Зz- 5 = 0?

4. Найти угол между прямой и плоскости 6x-3y-3z+1=0.

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости Зх-4у+5z+16=0.