доказать ,что число11...1(2010 единиц)делится на 37. ..1(2010 единиц)делится на 37

Признак делимости на 37.
Если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 3 цифры, сложить эти числа и сумма их делится на 37, то и число делится на 37.
2010 разбивается ровно на 670 таких групп. 670·111 = 74370, на втором шаге получаем 370+74 = 444, а делимость этого числа на 37 проверим непосредственно.
————————————————————
Сам признак делимости доказывается несложно, но в общем виде довольно много писанины, поэтому приведу лишь доказательство для числа, разбивающегося на две группы.. .
Пусть N — число, разбивающееся на 2 группы по три цифры. Представим его в следующей форме: N = 1000а+Ь, где а — число, составляющее левую группу, Ь — трехзначное число, составляющее правую группу данного числа. Если N делится на 37, то 1000а+b = 37к (к — целое положительное число) . Докажем, что в таком случае а+Ь тоже делится на 37.
В самом деле, выразим b из первого равенства и подставим в а+Ь. Тогда
а+Ь = а + (37 к — 1000а) = 37k — 999а = 37(к — 27)
делится на 37.
Обратно, пусть а+Ь делится на 37, тогда а + Ь = 37к.
Выразим отсюда b и подставим в равенство N=1000а+Ь. Получаем:
N = 1000а+37к — а = 999а + 37к=37(27+к) , то есть N делится на 37.
Для чисел, разбивающихся на большее количество групп, рассуждения аналогичные.