Подскажите, как правильно говорят при игре в шахматы - я сходил, я пошёл, я походил или я сделал ход?

Наверно, сделал ход: ) Первый и третий варианты ...ну, несколько двусмысленный, а я пошел наверно тоже правильно.

Первые три варианта предполагают непосредственноен выполнение действия (перемещения в пространстве) и уже поэтому могут быть отброшены, т. к. при игре в шахматы перемещатеся не игрок, а фигура. Но кроме этого, есть и еще причины не использовать ни один из первых трех вариантов:
1) Слово "пошел" выражает скорее начало действие, даже если это прошедшее время, например, "я пошел в школу. И когда я пришел... " Ход же в игре - это действие завершенное, и поскольку в правилах игры завершение хода - важный момент, естественно если он будет обозначаться более конкретно - глаголом, обозначающим завершенное действие.

2) Походил - отражает некоторую бесцельность (походил по улице и вернулся) - оттенок смысла не позволяет применить это слово.
3) Сходил - предполагает либо возврат к исходной точке (если я собрался за хлебом, я скажу - я пошел в магазин. Когда вернусь, скажу "сходил". Если же я не вернулся, а после магазина, например зашел к другу, то скорее всего скажу "зашел в магазин") Или, как верно заметили выше, слово "сходил" вызывает ассоциации с туалетной темой, что может послужить поводом для дурацких шуточек и т. п.

Хотя, в разговорной речи встречаются все четыре варианта. Чаще всего, наверное, "сходил". (Ты сходил? Нет, еще не сходил)
Можно представить, как начиная наступление человек может сказать "я пошел" (как пошел в атаку. Это может быть бессознательным отражением того, что человек начал реализовывать какую-то задуманную комбинацию)
Ну и "походил" - либо от неграмотного человека, либо от любителя коверкать слова и использовать вычурные выражения.

У профессиональных шахматистов, наверное есть четкий регламент на этот счет для соревнований.

если соперник серьёзный, то сделал ход.
Если товарищеская игра, то пошёл.
Ну а со словом сходил у меня немного другие ассоциации=)