какие органы власти исполняли фунции современной милиции ( полиции ) в древней Руси? . .

Капец вопрос. Составители, интересно, вообще представляют, чем протогосударство Киевская Русь отличается от государства ХХI века? !
1) До правды Ярослава все функции подобного рода выполняли члены общины, как правило, родственники пострадавшего;
Поиск преступника, доказательство его вины и суд были связаны неразрывно. По правилу, а чьих руках находилась власть, тот и творил суд, т. е. суд не был отделен от администрации. На местах судебные функции осуществляли посадники и волостели. Не различалось уголовное и гражданское право. Для общины (верви) , в которой терялись следы убийцы - обязанность самой продолжать розыск преступника и выдать его властям или уплатить дикую виру.
2) С развитием государства, обострением классовой борьбы увеличилось и количество преступлений, особенно имущественных. Это привело к появлению множества различных вспомогательных судебных должностей. Происходит усложнение и рост судебного аппарата. "Русская Правда" упоминает о представителях судебной власти мечнике, детском, вирнике, собиравшем виры и продажи с населения, метельнике, собиравшем судебные пошлины, ябедниках и др.

Вывод:
вообще-то источники точного ответа не сообщают. Сведения самые общие. Можно попробовать перечисленных представителей судебной власти (мечника, например) .
Однако ответ про родственников тоже не будет неверным (их дело - сыск, а не самосуд; так что вполне подойдут) .
Комментарий к ответу про Опричнину:
во-первых, Русь при Иване Грозном - уже Московская, а не киевская,
во-вторых, функции опричнины совершенно иные, аналог - не милиция, а, пожалуй, НКВД или ОГПУ.

Опричники - при Иване Грозном. Это скорее тогдашний Центр "Э", то есть политическая полиция. А еще стрельцы, вестимо.

Согласен с Верой. Авторам вопроса необходимо более чётко обозначить хронологические рамки. В XV-XVI вв. милиции общественной безопасности не существовало. Криминальная милиция появляется только в середине XVI в. в лице губных старост. В праве того времени существовали только дела субъективного вменения. Тот кто стал жертвой преступления сам устанавливал подозреваемого и собирал доказательства его вины. Только после этого вчинял устный или письменный иск. Государство в лице судьи лишь решало вопрос о виновности, выносило приговор и исполняло его. В случае убийства розыск преступника возлагался на собственника земли. В случае установления подозреваемого запускалась та же процедура, что и выше. Подозреваемый не установлен - плати штраф. Губной староста выявлял преступников методом тогдашней оперативной работы и собирал доказательства их вины, а также занимался раскрытием преступлений по горячим следам.

Стража, Войско