почему в автобусах пишут запасный выход, мне кажется правильнее запасной

Вы абсолютно правы - не запасный, а запасной. Не николо-перервенский монастырь, правильнее будет перервинский

"запАсный" и "запаснОй" - два разных, хотя и очень похожих слова.
"запАсный" происходит от "опасность", "запасной" - от "запас".

Поэтому - запасные тапочки (про запас) , и запасный выход (на случай опасности)

Орфографический словарь русского языка даёт два равноправных варианта словообразования в данном случае: и запАсный, и запаснОй.

/Это точно так же путаница, как со словами кАмфора (если ударение на первый слог, то через О во втором случае) , либо камфарА - у дарение на последний, и тогда все "а"..

Остаётся подбирать стилистически. .
(если же "подключить эмоции" - мне лично, например, вообще вариант "запАсный" по произношению не нравится.
Но точно так же мне не нравится говорить "слИвовое варенье" / или "грУшевое" - как-то хочется сказать "сливОвое" и "грушЁвое" - а оно тут вообще неверно..

Игрок бывает запасной

Более верной и рациональной, следует считать правдоподобную версию происхождения слова запасный, выдвигаемую многими филологами и используемую на практике в преподавании русского языка в средних школах СНГ (как и в бывшем СССР) : прилагательные запасной и запасный — слова с разными корнями. Если запасной является однокоренным по отношению к таким словам как запас и припас, то запасный — однокоренное к словам опасность, опасный и спасение. При данном толковании слова, понятие запасный выход (и в контексте употребления выражения к зданию или к какому-либо мероприятию) употребляется в случае опасности (пожар, задымление, землетрясение, обстрел и т. д.) , а выражение запасной выход (в том же контексте) указывает на то, что это дополнительный выход, созданный не для чрезвычайных ситуаций, а для повседневных бытовых или производственно-хозяйственных нужд, или как дополнительный вариант управляемого развития изменившейся ситуации

Знак № Е23
(ГОСТ Р 12.4.026-2001
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Система стандартов безопасности труда
ЦВЕТА СИГНАЛЬНЫЕ, ЗНАКИ БЕЗОПАСНОСТИ
И РАЗМЕТКА СИГНАЛЬНАЯ)
Знак должен быть именно таким

Википедия считает наиболее вероятным толкование, приведенное Konkord Luk, однако я считаю вероятнее приведенный в той же Википедии вариант, когда это слово впервые появилось в венгерских автобусах Икарус, поставлявшихся в СССР, вследствие недостаточно квалифицированного перевода и впоследствии было скопировано не слишком грамотными конструкторами наших автобусов.
Токование слова запасный как происходящего от слова опасный кажется мне нелепым.
Также есть толкование тут - http://gramota.ru/spravka/trudnosti/36_140

Слово запа'сный по происхождению более древнее, чем запасно'й. Составляя затем с последним конкурирующую пару, сейчас постепенно исчезает: на равных правах с прилагательным запасной оно употребимо только в нескольких сочетаниях: запасный выход, запасный путь и запасный полк.

У нас автобусы в основном Мерседесы, написано "запасной".

проверь по аналогии: чердак-чердачный, запас - запасный

потому что запасные части и запасной игрок.

Запасной может быть карандаш, а выход только запасный.
Потому что "запасный" более древнее слово и так повелось называть.