На ваш взгляд могло ли существовать в период с 11 века по 20 государство без письменности?

Не могло.
И не только в указанный Вами временной промежуток.
Так уж повелось - государства без письменности не бывает.
Ну разве что - на начальной стадии складывания государства может еще не быть письменности.
Но как только процесс набирает обороты - тут же возникает потребность в письменности.

Что такое государство - "группа товарищей", которая берет на себя определенные функции, а за это собирает с населения дань, налоги, на которые и существует.
Каким образом все это можно осуществлять без письменности?
Много и других моментов - идеология, сношения с другими государствами и др. , которые то же без письменности никак.. .
Ну разве что государство где-то на очень отдаленном острове )) Но там нет необходимости в государстве - нет соседей и не от кого защищаться .

Смотря что назвать государством без письменности. Я не знаю о каких горе-историках Вы говорите, но во второй половине XX века такое государство было. Его было не трудно найти на политических картах. В 70-е годы страна называлась Кампучия, а теперь Камбоджа. Во времена красных кхмеров граммотное население физически уничтожалось. Распроряжения передавались устно или по радио. Примечательно, что некоторые руководители той страны учились в Сорбоне, стало быть могли говорить и писать еще и по-французки. Следовательно страна может утратить письменность по воле ее руководителей. Когда вьетнамские войска вмешались в дела соседней страны, то оказалось, что в освобожденной столице нет ни одной пишущей машинки с кхмерским шрифтом. Вот пример государства без письменности из XX века.
В период с XI по XX век попадают такие могущественные африканские цивилизации как Большое Зимбабве, Мали, Согхай, Си Гана и проч. От этих держав остались архитектурные памятники, но следов письменности увы.
В джунглях Бразилии беглые рабы в XIX веке создавали коммуны-государства. Говорить о письменности в этих условиях весьма затруднительно. Чудеса социального устройства в таких "государствах" были самыми неожиданными. В одних царила первобытная республика, в других негры становились рабовладельцами, дикутуя свою волю индейцам Амазонки.
Короче, в мире было, есть и останется много чюдес.

Не просто могло, оно и существовало. Называлось Тиуантинсуйу, что в переводе означает Земля 4х стран света. Это государство инков в сегодняшнем Перу. На самой заре становления инкского государства письменность там была. Но потом начались какие-то катаклизмы (климатические или политические - того не знаю) . И местные мудрецы объявили, будто сии напасти произошли по причине наличия письменности. Когда ситуация утихомирилась, главный инка приказал все имевшиеся книги, записи и письменные принадлежности уничтожить, дабы таких потрясений больше не было. И уничтожили. И память об этом была настолько сильна, что когда через сотню лет кто-то изобрёл письменность заново, его со всем его скарбом сожгли заживо, дабы не смел навлекать на страну несчастья своими гадкими придумками. Так и жили инки до самого испанского завоевания без письменности.

Чтобы быть полностью объективным, надо сказать, что заменитель письменности у инков всё же был: так называемое узелковое письмо или кипу. Всё же потребности практики диктовали необходимость учёта поступающей дани. Узелковое письмо - это разноцветные шнуры с завязаными на них узелками. Каждый цвет означал конкретную вещь, а количество узелков на нити - количество штук этой вещи. Так можно было вести учёт поступающей дани без полноценной письменности. И хотя кипу иногда называют письмом, но настоящей письменностью оно всё же не было.

А вот чтобы существовало государство без письменности в начале 20го века - это маловероятно. Может, Монголия? Или Эфиопия? Но вряд ли.

Но это не было бы государством в строгом смысле этого слова, скорее община и более того, тут само время - 11-век или 20 век сами по себе лишь отрезок времени со времени летосчисления и без достижении человека с тех времен и до сегодняшний день ничего и не представляют сами по себе. Это будет изолированное общество, с уровнем развития первобытного общества. если "перенести" тот отрезок времени, что Вы отметили в далекое прошлое до изобретения письменности то, оно вполне "впишется" в него, более того человечество до изобретения письменности существовало не одно тысячелетие.