Какой характер, носили взаимоотношения Руси и Орды: жёсткого подчинения, частичной зависимости или сотрудничества?

Частичного подчинения и сотрудничества.
Прежде всего, после Нашествия Орда Русью не интересовалась 20 лет. Пока вновь не возникла угроза с Запада. Тогда Александр Ярославич собрался в Орду, ибо татарским саблям на тот момент никто не мог противостоять. Ярославич сблизился с ханами, побратался с Сартаком, тем самым стал приемным сыном Батыя (Бату-хана) . Он не мог не принять омажа (вассальная зависимость) от Орды, в тот момент он был просителем, и таковы были правила вежливости. Взамен сюзерен оказывал вассалу покровительство в разрешении международных споров (замалвливал словечко Великого государя) и помогал войсками. Слух о пятистах татарских саблях (то есть полк тяжелой кавалерии) обращал крестоносцев вспять после Раковорской битвы и при осаде Смоленска. Так называемая дань в пять тысяч рублей на самом деле именовалась в ы х о д о м, то есть взносом. Это князь собирал традиционную дань, точно так же как св. Ольга в Киеве. И из своих доходов давал выход. - 0,1 копейки с человека в год. Содержание собственных войск обошлось бы дороже, поскольку каждого воина снаряжала целая деревня, а потом содержала круглый год, давала слуг для похода.. .
Почему зависимость от Орды была предпочтительней зависимости от Римского папы? А в Орде все религии пользовались уважением. Русский митрополит перебрался в Сарай и выступал мудрым советниом хана. Треть татар была христианами-несторианами. Православные и несториане для папы были "т акими еретиками, что от них самого Бога тошнит". А ересь в Европе выжигали кострами и каленым железом. Ру сские писали на родном языке, в Европе на латыни. Потому им и не снилось такое количество летописей, как у нас. И заметьте, летописи сохранились под властью Орды, а под властью литовских князей - нет, не сохранились. К тому же грамотность на Руси была массовой, берестяные грамотки в Новгороде, Пскове и смоленске тому подтверждение. А в Европе прибегали к услугам монахов даже для чтения переписки монархов. Орда брала умеренную плату за свою помощь, крестоносцы выжимали из подданных прибалтов все и отнимали душу.
Не случайно через 120 лет после смерти Александра признали русским святым.
Его же потомок Дмитрий Московский за добро отплатил добро и разбил в бою узурпатора на сарайском троне Мамая и вернул своего друга Тохтамыша. Но не уберег от Тамерлана. От своих пределов Тамерлана во главе мусульман при Ельце отбили.
Как завещал внукам Дмитрий теперь Донской, "А переменит Бог Орду, дети мои не имут давати выхода в Орду, а который сын соберет дань в своем уделе... " Стоило Орде переменить свою политику в религии, как она лишилась поддержки Руси и покатилась к закату...

после нашествие дань платила только часть территории (Москва. Тверь и др) и имаенна эта часть не только сохранили независимость но и стала фундаментом новой империи
а вот другая часть территории попали под власть польско-литовских панов

Орда была предшественником пропутинских чеченских батальонов "Восток" и "Запад" и была полностью подконтрольна владимиро-суздальским князьям, являясь их карательным отрядом.