Татаро-Монгольское иго

Можете привести источники, согласно которым они ушли в Сибирь?
Монгольская Империя распалась уже в 14 веке. Во времена Грозного от неё остались только умирающие останки Государства Хулагуидов в Юго-Западной Азии, терзаемая междоусобицами Северная Юань на территории нынешней Монголии и северной части Китая, и наследники распавшегося Улу Улуса вокруг Руси, добитые самим Грозным либо вынужденные сами платить дань Руси.

Там, вроде, было глобальное похолодание. Особенно отразилось на степях. Плодородие уменьшилось. Монголы почти вымерли

В дополнение к предыдущему ответу -во-первых Иван Грозный Сибирь завоевал далеко не всю, да и государство в этом процессе было не единственным участником - скорее оно помогало частникам - купцам и авантюристам - закрепляться на вновь осовенных территориях. Для того чтобы захватить часть западной Сибири пришлось разгромить государственное образование, известное в нашей науке как Сибирское ханство. Доля монголов среди его населения - вопрос в науке дискуссионный. А вообще говоря, монголы (неправильно названные в свое время татарами - отсюда и выражение монголо-татары, что и означает - "монголы, называемые татарами") были крайне немногочисленны. В 13 веке они завоевали огромные территории и растеклись по ним как масло по бутерброду. После того как они захватывали власть в той или иной стране они занимали место местного правящего класса и перенимали его обычаи. В результате, через 2-3 поколения потомков этих монголов уже было не отличить от местного населения. Они никуда не уходили - просто растворялись в массе куда более многочисленного народа.

поскреби русского - найдёшь татарина