Найдите трехтысячное натуральное число, которое не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121
- последовательность квадратов целых чисел, разность между соседними n+1 и n
равна m = n^2+2n+1-n^2 =2n+1 и нечетна. Все нечетные числа представимы как разность двух соседних квадратов. Тут и так всё яcно, но можете применить метод математической индукции - для доказательства что это так для любого n.
Пусть m нечетны и представимы, рассмотрим числа 4*m= 4*(2n+1)= 4*(a^2-b^2)=(2a)^2-(2b)^2
следует, что 4m представимое число.
Остались четные числа вида 2m = 2*(2n+1)=2*((n+1)^2-n^2) =
= (V2(n+1))^2- (V2)^2
Как видим, эти числа тоже представимы в виде разности двух квадратов, но от чисел иррациональных, не целых..
А в виде целых квадратов - непредставимы. Почему?
Разность 2m должна быть четной, не делящейся на 4.
но разность пары любых четных квадратов делится на 4, пары нечетных делится на 8, четный с нечетным даю нечетную разность.
Итак все числа 2m при m нечетном непредставимы и нам годятся, и других пригодных больше нет. Доказано.
Ряд 2, 6, 10, 14 запишем в виде 2+4*(k-1).
при k=1 получим 2, при k=3000 получим N=11998.

Во грузит?

Ну, давайте, найдем числа, котоые представимы, т. е. N = a^2-b^2 = (a-b)(a+b) = k * (k + 2b)

Во-первых, это все нечетные числа (k=1, b - любое)

Во-вторых, если N делится на 2, то либо k делится на 2, либо (k+2b) делится на 2, т. е., k - четное: k=2m
Получаем, что четные числа, представимые в виде разности квадратов, имеют вид: 4*m(m+b), т. е., делятся на 4 нацело. Обратно, если N делится на 4, то оно представимо в виде разности квадратов.
(пусть N=4n, тогда n=m(m+b), если n - четное, то m=2, b=(n/2)-2, если n - нечетное, то m=1, b=n-1)

Итак, числа, представимые в виде разности квадратов, либо нечетные, либо делятся на 4.
Остальные, видимо, непредставимы:
2, 6, 10, 14, и т. д., т. е. N=2k, где k - нечетное.
Получаем, что трехтысячное такое чиcло имеет вид N=2*3001

В общем, как-то так.

помоему теорему Ферма доказать проще )