Почему говорят татаро-монгольское иго...

Племя татар было полностью истреблено.
Татарами, потом, называли все племена, которые покорились, и давали воинов для завоеваний. Это были, в том числе, и русские.
Сейчас татары - больше потомки Булгар. А Булгары - совсем не похожи на монголов. Наполовину европейский народ. Булгары - единственные, кто войска монголов разбил, причём погнали их неплохо! Правда, только в первый раз. Во второй раз не получилось.
А русские, они не русские.
Они славяне разных племён. Из Польши, в основном, мигрировали.
Рюрик был из славянского племени на севере нынешней Германии. Племя называлось - Руги.
Когда плыли ладьи с Ругами по Волхову и Днепру, их называли РУГСКИЕ ладьи. Далее, догадайтесь сами, как стали называть племена славян, которых объединили Руги.

Монголы образовали с татарами конгломерат и этнический союз.
По сути это крайне родственные племена как русские и украинцы.

Термин "татаро-монгольское иго" появился у нас только в 19 веке, а придуман в Польше. Ни каких подлинных документов и летописей того времени , подтверждающих это событие нет. Предтеча термина "татаро-монгольское иго" появилась именно у них еще в конце 15 века. В то время, путем интриг, Польша захватила огромные русские территории, большой кусок православной Литвы, всю Малороссию и часть Белоруссии. Требовалось колониальное освоение захваченных земель. Поляки стали активно "переваривать" западно-русские земли и для этого им потребовалось доказывать, что их польская власть есть спасение и счастье для русских. Другими словами населению требовалось хорошо "промыть мозги". Вот и была запущена машина для решения этой идеологической задачи. И вот уже западно-европейские историки 17-18 веков уже вовсю используют этот термин, при изложении истории Московии.

В России же одним из первых использует слово "иго" Карамзин, автор "Истории государства Российского". Первоначально в русских научных трудах писали "татаро-монгольское иго". Однако по мере роста протестов татарской общественности и в следствии того, что в 13 веке татар как таковых не существовало, термин перевернули и сделали "монголо-татарское иго".

https://dzen.ru/a/XMrBDBeOvgCz5wlH

Ну назвали так историки определённый исторический период. . Как и Киевская Русь или Новгородская республика. Ну тут новгородцы точно не знали, что в республике живут. Даже слово такого "республика" не знали.

это ихние разборки

ну, не все прям татары "враги", а только кераиты.
ну а само понятие ввёл в оборот Карамзин в своём учебнике "История государства Российского".

Потому что Москва подчинялась астраханским татарам, а астраханские татары уже подчинялись монголам. Потом, когда Китай разбил монголов астраханские татары еще долго брали дань с покорной Москвы по привычке.
Вот узбеки сразу скинули власть Сарая с себя, после разгрома Китаем монголов, да так скинули, что Москву узбеки взяли и до Владимира дошли в злобе своей на татар. Хотя брать Владимир передумали, развернулись и ушли. Они там узбекам икону показали, те от этого немного прифигели и успокоились.
Поэтому для узбеков это просто монгольское иго, а для русских татаро-монгольское.

Просто раньше понятия национальностей были несколько другими. Монгол называли татарами, а те кто сейчас татары были булгарами.

Потому что правильно говорит Царнорусь, она же для иностранцев и клеветников с завистниками Чернорусь, Сарматия, Царьматия. Со столицей в Бузулуке или Орске.