Сегодня обнаружила отпавший кусок кактуса, что-то ему не понравилось, я гниль отрезала и дальше что?

Хорошенький какой.
Можно попытаться посадить и деток, и черенок.
Но черенок надо обрезать под небольшим углом со всех сторон, как бы слегка затачивая, как карандаш (но не на острие!) . После этого подсушить, чтоб срез взялся сухой пленкой. При подсыхании срез втягивается внутрь кактуса, чтобы избежать этого, делают "затачивание".
"Если поверхность среза достаточно велика, ее нужно соответствующим способом сформировать. За счет сморщивания тканей она часто втягивается внутрь, и позднее корешки появляются из самых нижних точек на поверхностной кожице, причем часто только с одной стороны стебля, а это нежелательно. У здорового черенка корни должны развиваться из середины среза, вокруг камбиального кольца. Поэтому его нужно заострить, придав коническую форму, но не затрагивая середины, т. е. проводящего пучка.. .Затем поверхность среза должна подсохнуть — у одних растений несколько часов или дней, у других, особенно у очень мясистых кактусов, до четырех — пяти недель. На поверхности среза должна образоваться сухая корочка. Если срез как следует не зарубцевался, растение можно дополнительно выдержать еще несколько недель на теплом сухом воздухе. Срезанный черенок особенно восприимчив к солнечному ожогу, ведь у него нет корней, которые дали бы ему новую влагу взамен испарившейся. В процессе такого многонедельного подсыхания черенок не должен лежать горизонтально, это приводит к неправильному образованию корешков из всех направленных вниз точек роста. " Из книги Вальтера Хаге "Кактусы".
Извините, ссылку на ресурс никак не хотят пропустить.
Ну, Ваш черенок совсем маленький, ему достаточно дня 2-3 подсохнуть, наверно.
"Все срезы на стеблях кактусов надо делать только острыми (скальпель, бритва, нож) и продезинфицированными инструментами. Срезы должны быть ровными. Для дезинфекции после каждого среза лезвие надо протереть этиловым спиртом (водкой, одеколоном) или прокалить в пламени. "
www.treeland.ru/article/home/kaktu/kak/vegetativnoe_razmnogenie_kaktucov.htm
(картинка взята со страницы www.zooclub.ru/flora/kaktus/11.shtml - стоит прочесть, там интересная методика укоренения кактуса: поставить на поверхность субстрата и не поливать, а только опрыскивать! )
Про размножение кактусов черенками смотрите также здесь:
mycactus.org.ua/all-about-a-care/17-razmnozhenie-kaktusov-cherenkami.html

Подсуши часов 5 и можно посадить.

место среза обработайте толчёным активированным углем.. . несколько дней должен подсохнуть, а потом можно посадить..

Называется кактус маммиллария (mammillaria),точнее сложно сказать, очень маленькие части. Самая большая часть кактуса скорее всего не имеет шансов - покрасневшая середина говорит о корневой гнили. Детки слишком маленькие и теперь, осенью укореняются плохо, но есть шанс. Если они доживут до весны, то всё будет хорошо. Не увлекайтесь поливом, деток положите на сухой песок и ждите спящих корешков. Тогда можно садить в грунт.
Если Ваша маммилария цвела, то можете сравнить и уточнить название в моём альбоме. Удачи.

Надо сутки подсушить, и потом сажай. Можно во влажный песок. Просто положить срезом вниз.

Нет посадить нельзя

лучше наверное дать ему постоять в воде а потом посадить, и лучше поставить около окна.