Подскажите что за цветок и что делать с веточкой с цветами которую он выбросил ?

Хлорофитум хохлатый. "Веточка" - это цветонос. После цветения на нем образуются детки в виде пучков листьев, которые можно срезать и укоренять сначала в воде, потом в грунте. Сейчас Вашему растению туговато. Ему не хватает света, от чего кустик такой хиленький и бледненький. Плюс полив неправильный. Поливайте растение обильно до полного смачивания корневого кома, а потом дожидайтесь просыхания грунта на 2-3 см в глубину. Хлорофитум имеет сочные запасающие влагу корни, поэтому в частом поливе не нуждается. Когда детки подрастут, их можно отделать, поставить в воду до пояления хорошей корневой системы и высадить в маленький горшочки или один горшочек среднего размера (сразу большую емкость брать нельзя), тогда у Вас получится один или несколько новых красивых растений.

хлорофитутм. Можете оставить ветку, можете срезать. Можете ее посадить. Это черенок у него такой

На вашем фото хлорофитум посажен слишком высоко (поэтому и заваливается набок), да и горшок лучше бы использовать меньше по размеру.
Советую аккуратно его подкопать, убрать часть земли и посадить ниже в горшок, чтобы основание листьев находилось в вертикальном положении. Уплотнить почву. Полить небольшим количеством тепловатой отстоянной воды.
На мой взгляд, цветоносы с детками - листовыми розетками украшают хлорофитум, делая его более эффектным на вид.

хлорофитум. Потом на этой стрелке розетка образуется

Ничего не делать, пусть растет. А цветок- хлорофитум

Отцветает за день.

Хлорофитум, на веточке вырастут детки, которые можно будет использовать для укоренения и обновления цветка.