Что делать с корнями? Пересаживать или нет?

На мой взгляд, всё нормально: цветут, тургор листьев в порядке и корней достаточно.
То, что часть засыхает - не опасно (бояться надо гнилых - от них процесс гниения расползается на соседние), а сухие ничем НЕ вредят.
Не советую тормошить, хотя бы до окончания цветения - это не только дальнейшее увядание цветочков, но и подсыхания всего цветоноса. пока он зелёного цвета - есть вероятность появления новой веточки с бутоном или (реже) деткой.
Опытному цветоводу я бы посоветовала пересадить фаленопсис с белыми цветами - его корням уже не удаётся влезть в этот тесный горшок. А Вам ("...Опыта нет с этими цветами...") - не стоит.
Если всё же решитесь, то подождите до февраля: тогда уже растения чувствуют весну и процессы вегетации (в том числе реакция на стресс от смены грунта) проходят без осложнений.
А пока изучите базовую информацию о том, где и как растут фаленопсисы, когда и как надо пересаживать:
https://www.greeninfo.ru/indoor_plants/phalaenopsis.html/Article/_/aID/5210

Очень полезны советы "бывалых": наберите в Поиске по вопросам (рамочка в правом верхнем углу) слово фаленопсис или орхидея и почитайте ответы. Наверняка найдёте много полезного.
Только учтите, что отвечают все подряд - надо фильтровать...)))

У меня есть знакомые, у которых годами цветут фаленопсисы, НИ разу НЕ пересаженные из магазинного грунта. Лучше оставить как есть, чем сделать не вовремя и неправильно.

То что корешок высох, это не страшно. Так бывает. А вот то что зелень в горшке - это плохо. Либо часто поливаете, либо грунт уже плохой. Я бы пересадила.

Подумаешь один корешок подсох. Отрежьте его и все. С пересадкой вполне терпит до весны.

Попробуйте иногда опрыскивать корни, может поможет дотянуть до весны, а весной пересадите