Задача для 9 класса

999 минус кратные 2, 3, 5, 7; плюс кратные 6, 10, 14, 15, 21, 35; минус кратные 30, 42, 70, 105; плюс кратные 210 = 999 - (499+333+199+142) + (166+99+71+66+47+28) - (33+23+14+9) + 4 = 228

Чтобы вычислить такие числа, можно использовать принцип включения и исключения. Он учитывает, что при подсчете чисел, делящихся на данные числа, мы можем засчитать одно и то же число несколько раз, если оно делится на несколько из этих чисел.

Сначала, вычислим количество чисел, делящихся на каждое из данных чисел.

На 2 делятся 500 чисел (каждое второе число от 0 до 999), на 3 - 333 числа, на 5 - 200 чисел и на 7 - 142 числа.

Затем вычислим количество чисел, делящихся на каждую пару чисел. Это даст нам числа, которые мы засчитали дважды. Мы вычисляем это, делая деление 1000 на произведение чисел в паре.

- На 2 и 3 (т.е. на 6) делятся 166 чисел.
- На 2 и 5 (т.е. на 10) - 100 чисел.
- На 2 и 7 (т.е. на 14) - 71 число.
- На 3 и 5 (т.е. на 15) - 66 числа.
- На 3 и 7 (т.е. на 21) - 47 числа.
- На 5 и 7 (т.е. на 35) - 28 чисел.

Следующим шагом будет вычисление чисел, делящихся на каждые три числа из набора.

- На 2, 3 и 5 (т.е. на 30) делятся 33 числа.
- На 2, 3 и 7 (т.е. на 42) - 23 числа.
- На 2, 5 и 7 (т.е. на 70) - 14 числа.
- На 3, 5 и 7 (т.е. на 105) - 9 числа.

Наконец, вычисляем количество чисел, делящихся на все четыре числа, т.е. числа, делящиеся на 210. В данном диапазоне таких чисел - 4.

Теперь мы можем использовать принцип включений и исключений. Количество чисел, делящихся как минимум на одно из данных чисел, будет равно сумме чисел, делящихся на каждое число, минус сумма чисел, делящихся на каждую пару чисел, плюс сумма чисел, делящихся на каждые три числа, и в результате - минус число, делящееся на все четыре числа.

Таким образом, исходя из данных выше, количество чисел в диапазоне от 0 до 999, которые делятся хотя бы на одно из данных чисел, равно 500 + 333 + 200 + 142 - 166 - 100 - 71 - 66 - 47 - 28 + 33 + 23 + 14 + 9 - 4 = 772.

Теперь, если у нас есть 1000 чисел (с 0 по 999), и мы знаем, что 772 из них делятся хотя бы на одно из данных чисел, мы можем вычислить, что 1000 - 772 = 228 чисел не делятся на 2, 3, 5 или 7.