Задачи по комбинаторике

Первая. Можно посчитать как сочетания по 4Ю, 3Ю + 1Д, 2Ю + 2Д, 1Ю + 3Д из соответствующих групп:

 C₇⁴ + C₇³ · C₅¹ + C₇² · C₅² + C₇¹ · C₅³ = 210 + 210 + 70 = 490 

А можно проще - взять сочетания по 4 из 12 чел и из них вычесть сочетания по 4Д из 5 чел.

 C₁₂⁴ - C₅⁴ = 12 · 11 · 10 · 9 / (1 · 2 · 3 · 4) - 5 = 11 · 5 · 9 - 5 = 98 · 5 = 490 

Результат - одинаковый.

Вторая.
Без учёта ограничения (минимум - по 1 конфете в кармане) каждую конфету можно положить в один из 4-х карманов. Количество комбинаций:

 4¹⁸ = 2³⁶ > 10¹⁰ 

Из них надо исключить комбинации с пустыми карманами.

3 пустых кармана - это 4 комбинации (все конфеты - в одном оставшемся, а он может быть одним из 4).

2 пустых кармана - это равноценно раскладыванию 18 конфет по 2-м оставшимся, т.е.

 2¹⁸ > 10⁵ 

Но этими двумя оставшимися могут быть

 C₄² = 6 

комбинаций карманов.

Поэтому с двумя карманами выходит

 2¹⁸ · 6 

комбинаций.

1 пустой карман - это 4 варианта с разложением 18 конфет по 3 карманам.

 3¹⁸ · 4 

Итого:

 4¹⁸ - 3¹⁸ · 4 - 2¹⁸ · 6 - 4 =

  = 68719476736 - 1549681956 - 1572864 - 4 = 67168221912 

Как видим, ограничение на непустые карманы сильно не повлияло на результат.

1)
Из всех вариантов сочетаний 12 студентов по 4 отнимаем число вариантов с одними девушками (5 по 4)
(12!/8!4!) - (5!/4!) = 490

2)
18 конфет по 4 разным не пустым карманам
(17!/14!3!) = 680

15 1 1 1___9 3 3 3____7 7 2 2_____5 5 5 3
14 2 1 1___9 4 3 2____7 7 3 1_____5 5 4 4
13 2 2 1___9 4 4 1____7 6 3 2
13 3 1 1___9 5 2 2____7 6 4 1
12 2 2 2___9 5 3 1____7 5 3 3
12 3 2 1___9 6 2 1____7 5 4 2
12 4 1 1___9 7 1 1____7 5 5 1
11 3 2 2___8 4 3 3____7 4 4 3
11 3 3 1___8 5 3 2____6 6 3 3
11 4 2 1___8 5 4 1____6 6 4 2
11 5 1 1___8 6 2 2____6 6 5 1
10 3 3 2___8 6 3 1____6 5 4 3
10 4 2 2___8 7 2 1____6 5 5 2
10 4 3 1___8 8 1 1____6 4 4 4
10 5 2 1
10 6 1 1
получилось 46 во 2 задаче

54 и 46