Python "Двойные и кратные циклы"

Точность вычислений - это разница между вычисленной суммой ряда и её точным значением. То, что случайно выбранный член ряда по j оказался меньше заданной точности, ещё ничего не гарантирует. А потом ещё эти никем не учтённые погрешности накапливаются при суммировании по i.

Чтобы гарантированно получить требуемую точность, необходимо оценить остаток ряда.

 ∞                           ∞            ∞            ∞          k

Σ sin(ij/π) / (i⁵ + j⁵)  ≤  Σ 1 / j⁵  ≤  Σ 1 / j⁴  =  Σ 1 / j⁴ - Σ 1 / j⁴  =

j=k+1                       j=k+1        j=k+1        j=1        j=1

             k

  =  π⁴/90 - Σ 1 / j⁴

             j=1 

Где k - текущий член ряда по j.
Сумма первого слагаемого вычислена Эйлером как сумма обратных четвёртых степеней.
Сумму второго слагаемого (вычитаемого) мы можем накапливать при вычислениях в цикле.
Именно эту штуку и надо сравнивать с точностью в цикле по j.

Кроме того, выше указано, погрешность накапливается при сумме по i, и у неё - один и тот же знак. Проще всего разделить точность на 20 и по каждому i достигать своего куска (0.05 × 10⁻³ / 0.3). Делим на 0.3, потому что итоговое выражение будет умножено на этот коэффициент.

И конечно, если считать π = 3.14, то точность 0.001 никогда не будет достигнута.

И ради Бога, никогда не вычисляй степени таким варварским образом. Возведение в степень - тяжёлая вычислительная операция. Лучше хранить степени i и j между итерациями и в следующей итерации домножать на текущее значение i или j, соответственно.