Пригласили на работку, однако оформление только через месяц

Оформляйся сразу.
Это просто запись о работе, а не увольнение по статье. Без официального оформления тебя могут просто выпнуть без денег.

В серых компаниях могут и через месяц не оформить. Когда-то работала в серой компании, где оформляли только через 3 месяца и то в порядке согласования. Решать Вам, Вам все сказали открытым текстом- оформиться есть возможность, но уже намекают на то, что испытательный срок можно и не пройти и тогда пойдёте Вы с этой записью в трудовой дальше в свободное плавание.

Меня на последних двух работах оформляли через месяц, т. е. после испытательного срока. Считаю это нормальным. И не считаю нормальным для себя оформлять всё с первого дня. Не факт, что мне там понравится. И что? Копить записи в трудовой по месяцу на каждой работе? Никто ни на что не намекает. Просто они Вас не знают, Вы их тоже. Может Вы им не подойдете в итоге, а может они Вам. При всём при этом конечно же нужно интуитивно чувствовать адекватность работодателя, чтобы потом не было проблем с выплатами за испытательный срок.

работодатели хотят посмотреть на вас в течении месяца (такой испытательный срок)

Очень сомнительное предложение.
У работодателя есть возможность "продинамить" вас по оплате после выполненной работы, затем нанять на ваше место следующего наивного человека.
Уточните, что такое "будет запись в трудовой". Угроза, типа, могут написать какую-нибудь дичь про вас, если захотите уйти?