В какой орган и в течение какого срока можно обратиться за разрешением спора?

Для увольнения работника за систематическое неисполнение работником своих обязанностей необходимо доказать систему в неисполнении, для этого каждый факт неисполнения должен быть надлежащим образом оформлен.
А именно для привлечения к дисциплинарной ответственности необходимо:

Порядок привлечения
за нарушение трудовой дисциплины к работнику может быть применено только одно дисциплинарной взыскание:
выговор
увольнение
Законодательством, уставами и положениями о дисциплине могут быть предусмотрены для отдельных категорий работников и другие дисциплинарные взыскания
дисциплинарные взыскания применяются органом, которому предоставлено право приема на работу данного работника
до применения дисциплинарного взыскания работодатель должен затребовать от нарушителя письменное объяснение о совершенном проступке
при избрании вида взыскания работодатель должен учитывать:
степень тяжести совершенного проступка;
причиненный дисциплинарным проступком вред;
обстоятельства, при которых совершен проступок;
предшествующую работу работника
применяется работодателем не позднее 1 месяца со дня обнаружения проступка и не позднее 6 месяцев со дня совершения проступка
взыскание объявляется в приказе (распоряжении) и сообщается работнику под расписку в 3-дневный срок
дисциплинарное взыскание может быть обжаловано работником в порядке, установленном действующим законодательством
сохраняет силу своего действия на протяжении 1 года, по истечении которого работник считается не подвергавшимся дисциплинарному взысканию
если работник не допустил нового нарушения трудовой дисциплины и проявил себя как добросовестный работник, то взыскание может быть снято до истечения 1 года
работодатель имеет право вместо наложения дисциплинарного взыскания передать вопрос о нарушении трудовой дисциплины на рассмотрение трудового коллектива или его органа.
Цитируем ТК РФ: ст. ст. 192, 193
Таким образом, устное замечание руководителя, при условии его ненадлежащего оформления не является дисциплинарным взысканием, и не может учитывать для установлении системности нарушений.
ПО второму факту, привлечение к лдисциплинарной отвественности, все тоже самое.
Плюс понятие прогула.

Прогул, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены) , независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены) .
Таким образом, отсутвие на рабочем месте в течение одного часа не являтся прогулом, кроме того отсутвие на рабочем месте дольно быть по неуважительным причинам, работником предоставлена справка из медицинского учреждения о том, что он отсутвовал на рабочем месте в связи с болезнью, соответственно невозможно говорить о том, что уважительные причины отсутвовали. (ст. 81 ТК РФ)

Таким образом, увольнение работника незаконно, работник вправе защитить свои права в установленном законом порядке, а именно:
в соответствии с Частью пятой ТК РФ.

Задача решена с учетом действующего трудового законодательства.

Даже уход с работы по уважительной причине должен быть через надлежащее письменное уведомление администрации или иного лица уполномоченного принимать такие заявления и принимать решение.

в прокуратуру, трудовую инспекцию, суд
в суде можете потребовать восстановления на работе и оплату за вынужденный прогул

Разршением индивидуальных трудовых сопров занимаются только два органа: Суды и комиссии по трудовым спорам созданные на предприятии.

Обращение в эти органы имеет срок - по увольнению - 1 месяц. по иным спорам вытекающим из трудовых отношений - 3 месяца.

В случае Вашего друга - срок 1 месяц

Трудовой кодекс РФ

Статья 352. Способы защиты трудовых прав и свобод
Каждый имеет право защищать свои трудовые права и свободы всеми способами, не запрещенными законом.
Основными способами защиты трудовых прав и свобод являются:
- самозащита работниками трудовых прав;
- защита трудовых прав и законных интересов работников профессиональными союзами;
- государственный надзор и контроль за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, - содержащих нормы трудового права;
- судебная защита.

Статья 391. Рассмотрение индивидуальных трудовых споров в судах
В судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям работника, работодателя или профессионального союза, защищающего интересы работника, когда они не согласны с решением комиссии по трудовым спорам либо когда работник обращается в суд, минуя комиссию по трудовым спорам, а также по заявлению прокурора, если решение комиссии по трудовым спорам не соответствует трудовому законодательству и иным актам, содержащим нормы трудового права.

Непосредственно в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям:
- работника - о восстановлении на работе независимо от оснований прекращения трудового договора, об изменении даты и формулировки причины увольнения, о переводе на другую работу, об оплате за время вынужденного прогула либо о выплате разницы в заработной плате за время выполнения нижеоплачиваемой работы, о неправомерных действиях (бездействии) работодателя при обработке и защите персональных данных работника;
- работодателя - о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, если иное не предусмотрено федеральными законами.
Непосредственно в судах рассматриваются также индивидуальные трудовые споры:
- об отказе в приеме на работу;
- лиц, работающих по трудовому договору у работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями, и работников религиозных организаций;
- лиц, считающих, что они подверглись дискриминации.

Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора
Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.

Следовательно, Ваш друг может написать жалобу в трудиннспекцию и в прокуратуру. В суд обращается в течении трех месяцев с момента, когда узнал об увольнении, то есть фактически как подписал приказ. В принципе, в суд лучше идти имея на руках ответ прокурора либо трудинспектора, ведь гражданское судопроизводство основано на том, что истец и ответчик сами представляют доказательства судье.

Короче, алгоритм я написал, если что пишите в личку, постараюсь ответить на проблемные вопросы

Обратитесь в трудовую инспекцию срок без ограничения.