Могу ли я обратиться в суд не дожидаясь письменного ответа из Инспекции труда?

В суд, Государственную инспекцию труда и Прокуратуру можно обращаться независимо друг от друга. Для обращения в суд срок исковой давности составляет три месяца со дня, когда работник узнал или должен был узнать о нарушении своего права (по восстановлению на работе - один месяц) . Что касается неответа ГИТ - то это "нормальная" практика. Действительно, по закону на ответ дается 10 дней, но этот же закон дат право ГИТ продлить этот срок еще на один месяц, чем ГИТ постоянно и пользуется. Другое дело, что они обязаны известить заявителя о продлении этого срока, но на практике этого обычно не делается. Вы можете обжаловать неответ ГИТ в суде в течение двух месяцев от даты, когда должен был быть получен ответ.

Часто игнорируют.. . Я бы подал в суд не дожидаясь.. .
а в суде бы заявил что они бездействуют!

В соответствии с ТК РФ в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям работника, работодателя или профессионального союза, защищающего интересы работника, когда они не согласны с решением комиссии по трудовым спорам либо когда работник обращается в суд, минуя комиссию по трудовым спорам, а также по заявлению прокурора, если решение комиссии по трудовым спорам не соответствует трудовому законодательству и иным актам, содержащим нормы трудового права.

судебная защита ваше конституционное право, обратиться вы можете, но скорее всего вас отправят в трудовую инспекцию .