Подскажите пожалуйста мои права на отпуск

График отпусков, утверждённый начальником - это Закон. Если будете увольняться, то денежная компенсация за фактически отработанное время Вам будет положена.
А вот "сохранить" право на отпуск для реализации в другой организации, не получится.

График отпусков обязателен для исполнения как для работодателя, так и для работника (ст. 123 ТК РФ) .
Поэтому если вас включили в график, то нужно соблюдать. Пожелания работника учитываются до его составления. Если вы желаете перенести отпуск, то обязательно должно быть согласие руководителя.
Если при увольнении вы хотите воспользоваться правом на отпуск, то отпуск с последующим увольнением предоставляется опять же, если время предоставления отпуска совпадает с графиком отпусков (так как отпуск предоставляется за отработанный год, а не пропорционально отработанному времени) . Если вы просите предоставить отпуск с последующим увольнением в неурочное время, то работодатель вправе отказать вам в предоставлении отпуска (в увольнении он отказать, разумеется, не может) .
ИЗ всего вышесказанного вы имеете право уволиться по собственному желанию, но обязаны предупредить работодателя за 2 недели. В последний рабочий день вам обязаны выплатить недополученную з/плату+компенсацию за неиспользованные дни отпуска и выдать трудовую книжку.
В вашем случае, если вы увольняетесь в июне, то компенсация составит: 50:12*9=39 дней. Но это приблизительный расчет, т. к. не известны дни вашего трудоустройства и увольнения. Если вами отработано 15 дней и более, то дни округляются до полного месяца. За каждый отработанный месяц вам положена компенсация за 4,17 дней.

Если вы устроились на работу в сентябре, то имеете право идти в отпуск в феврале или в августе, то есть по истечению 6 месяцев или 11, причём если пойдёте в феврале, то отгуляете только половину отпуска, вторую половину отгуляете в августе.
В начале июня вас, по законодательству, не могут отпустить в отпуск.
При увольнении вам выплатят компенсацию за не использованный отпуск, только не понятно как вы хотите его сохранить.

Можно написать заявление на отпуск с последующим увольнением. Последний день отпуска будет днем увольнения. За полный отработанный месяц положено 2,33 дня. если месяц не полный, то 15 дней и выше округляются до полного. Отпуск лишнего не берите, пусть в кадрах посчитают, сколько положено. А если не увольняться, то поговорите с Заведующей, может и даст отпуск в удобное для Вас время. Еще, отпуск может быть разделен на части, но хотя бы одна часть часть должна быть не меньше 14 кал. дней.

Работодатель не имела права самостоятельно без вас решать, в какой месяц вас отправлять в отпуск. Отпуска предоставляются по желанию работника и согласно графика отпусков. Для начала в конце года вам должны были предоставить возможность и написать самой, в какой месяц вы хотите пойти. Если все остальные сотрудники тоже решили пойти в тот же месяц, тогда по согласованию с вами работодатель должна попросить кого-то из вас передвинуть отпуск на другое время. Но всё по согласованию, а не по удобству одного лишь работодателя. Увольняться не надо, но надо ей объяснить. А вот если вы будете увольняться, то вам обязаны выплатить денежную компенсацию за неиспользованный отпуск по количеству дней, накопленных ко дню увольнения. Если 50 дней и вы ни разу не брали, то обязаны оплатить все 50 дней, но только при расчете при увольнении.

Вы имеете право на отпуск по истечении 6 месяцев работы в данной организации, т. е. 6 месяцев уже прошло и работодатель обязан вам его предоставить - ст 122 Трудового кодекса

Это 100%.

При увольнении вам положена компенсация за все неиспользованные отпуска - ст 127

Но при увольнении вам выплатят компенсацию лишь за полные месяцы работы и за неполные месяцы ( но где более половины месяца вы отработали) . Т. е. компенсация будет неполной, т. к. вы не отработали 11 месяцев.

Удачи!