Как можно доказать, что работа в должности "Старшая вожатая" входит в педагогический стаж, который даёт право

Пенсия начисляется по трудовой книжке (одной-единственной, второй быть недолжно) , если там есть записи о трудоустройстве в качестве вожатой - это должно быть учтено при начислении пенсии. Доказывать ничго не надо, просто нужно обратиться в областной пенсионный фонд

Только через суд. Но по-моему, в перечне нет должности старшей вожатой

Почитайте ответ на вопрос Головичер Галины:
Входит ли работа старшей вожатой или пионервожатой в педагогический стаж для досрочного назначения пенсии в связи с педагогической деятельностью?

Вот главный смысл этого ответа:

Изменение условий установления пенсии в данном случае, по мнению суда, является ограничением конституционного права граждан на социальное обеспечение, которое не может быть оправдано указанными в части 3 статьи 55 Конституции РФ целями, ради достижения которых допускается ограничение федеральным законом прав и свобод человека и гражданина. Учитывая изложенное, суд приходил к выводу о необходимости включения в педагогический стаж работы, дающей право на назначение досрочной трудовой пенсии по старости в связи с педагогической деятельностью, периода работы в указанной должности.

Учитывая изложенное, разъясняем, что, считая свои права нарушенными, Вы имеете право на обращение в суд. Согласно нормам статьи 3 Гражданского процессуального кодекса РФ заинтересованное лицо вправе в порядке, установленном законодательством о гражданском судопроизводстве, обратиться в суд за защитой нарушенных либо оспариваемых прав, свобод или законных интересов.

Найти постановление правительства с перечнем должностей и сунутьпод нос кому надо.