Стою на бирже труда по сокращению.

Сразу не снимут.
Если гражданин зарегистрирован в целях поиска работы или в качестве безработного, то "Снятие с регистрационного учета зарегистрированных граждан, а также Снятие с регистрационного учета безработных граждан, осуществляется государственными учреждениями службы занятости населения в следующих случаях:
длительной (более 1 месяца со дня последнего посещения государственного учреждения службы занятости населения для подбора подходящей работы) неявки в государственное учреждение службы занятости населения;
Вы постарайтесь, чтобы неявка не была больше 1 месяца.
И если будет возможность, привезите документы подтверждающие уважительность вашего отсутствия, любые. А еще лучше, поговорить со специалистом ЦЗ и узнать, какие документы Вам нужно будет предоставить, в случае длительной неявки.

Если вы так уверены, что вам дадут больничный, то, конечно, можете уехать. Только вот решать, нуждается ваша мама в уходе или нет, будете не вы, а врач. Если сочтет, что нет такой необходимости, то в выдаче больничного вам будет отказано.
Больничный, даже если вам его удастся получить, "предоставлять" бывшему работодателю бесполезно, не подлежит такой больничный оплате бывшим работодателем и никакие выплаты по сокращению не продлевает.

А кто даст больничный по уходу, что за чушь ?

Сходите на биржу, объясните ситуацию, не звери же они, что нибудь подскажут.

им абсолютно без разницы по какой причине потому что они .. не буду выражаться. если не прийти в назначенный день и час снимут с учета.

инспектору позвонить не судьба?

Вызовите к себе участкового, поговорите с ним, попросите оформить больничный, заплатите врачу.

Уезжаешь, берешь там больничный по уходу, уведомляешь центр занятости. Кстати, на время больничного выплаты от предприятия по сокращению продлеваются. Больничный предоставляется на предприятие откуда сократили.