немецкий. когда инфинитив идет с ZU , а когда без?

Без частицы “zu” инфинитив употребляется:
1. после модальных глаголов
Ich muss nach Hause gehen.
Мне надо идти домой.
и глагола lassen:
Sie lässt auf sich lange warten.
Она заставляет себя долго ждать.
2. после глаголов : sehen, hören, fühlen (в обороте “Akkusativ + Infinitiv“):
Ich hörte die Kinder singen.
Я слышал, как пели дети.
3. после глаголов движения (gehen, fahren, kommen):
Wir gehen Fußball spielen.
Мы идем играть в футбол.
4. после ряда глаголов в определенном значении:
haben (+ глагол местоположения hängen, liegen, stehen и др. )
Sie hat viele Fotos in ihrem Zimmer hängen.
В ее комнате висит много фотографий.
bleiben (+ глагол местоположения hängen, liegen, stehen, sitzen, wohnen)
Er blieb dort wohnen.
Он остался там жить.
machen (в значении “заставлять”)
Was macht dich so viel arbeiten?
Что заставляет тебя так много работать?
finden (в обороте “Akkusativ + Infinitiv”)
Ich fand ihn im Garten arbeiten.
Я нашел его работающим в саду.
С частицей “zu” инфинитив употребляется:
1. после большинства глаголов:
a) как часть составного глагольного сказуемого, напр. , после глаголов: beginnen, anfangen, aufhören и др.
Er begann Deutsch zu lernen.
Он начал учить немецкий язык.
б) в качестве дополнения после многих глаголов: versprechen, beschließen, wünschen, hoffen, raten, bitten, glauben и др.
Er bittet mich ihm zu helfen.
Он просит меня помочь ему.
2. в качестве определения к существительному:
Er hatte den Wunsch nach Deutschland zu fahren.
У него было желание поехать в Германию.
3. в качестве дополнения к прилагательному:
Es ist nicht leicht diese Prüfung zu bestehen.
Нелегко сдать этот экзамен.
Употребление частицы “zu” колеблется:

1.
после глаголов: lernen, lehren, helfen:

а) одиночный инфинитив употребляется без “zu” (спрягаемый глагол и инфинитив находятся близко друг от друга) :
Er lehrt den Sohn lesen.
Он учит сына читать.
б) “zu” обычно употребляется при распространенном инфинитиве (когда инфинитив далеко отстоит от спрягаемого глагола) :
Er lehrt den Sohn, alle Schwierigkeiten mutig zu überwinden.
Он учит сына мужественно преодолевать все трудности.
в) “zu” употребляется, если инфинитив вынесен за рамку сказуемого:
Er hat schon früh gelernt, sein Geld zu verdienen.
Он рано научился зарабатывать свои деньги.
2. инфинитив в качестве подлежащего (на первом месте в предложении) :
а) одиночный инфинитив:
Lesen ist nützlich.
(Но: Es ist nützlich, zu lesen.)
Читать полезно.
б) распространенный инфинитив:
Viel zu lesen ist nützlich.
Много читать полезно.

Wir bieten Ihnen diesen ausflug an
У меня как. то вообще без инфинитива получилось.

Экскурсии не посещают! В экскурсиях принимают участие!

Wir schlagen Ihnen vor, an diesem Ausflug teilzunehmen.

http://www.canoo.net/services/OnlineGrammar/Wort/Verb/Finit-Infinit/Infinitiv.html

Wir schlagen Ihnen vor, an diesem Ausflug teilzunehmen